6. Tổng hợp câu hay và khó chương 1

Đề bài

Câu 1 :

Rút gọn biểu thức $P = \dfrac{{2\sqrt 6 + \sqrt 3 + 4\sqrt 2 + 3}}{{\sqrt {11 + 2\left( {\sqrt 6 + \sqrt {12} + \sqrt {18} } \right)} }}$ ta được

A.

$P = \sqrt 3 – 1$
B.

$P = \sqrt 3 + 1$
C.

$P = 2\sqrt 3 $
D.

$P = \sqrt 3 + 2$

Câu 2 :

Rút gọn biểu thức $A = \sqrt x – \sqrt {x – \sqrt x + \dfrac{1}{4}} $ khi $x \ge 0$ ta được:

A.

$A = \dfrac{1}{2}$
B.

$A = 2\sqrt x + \dfrac{1}{2}$
C.

$A = \dfrac{1}{2}$ hoặc $A = 2\sqrt x – \dfrac{1}{2}$
D.

$A = 2\sqrt x – \dfrac{1}{2}$

Câu 3 :

Cho biểu thức $B = \sqrt {4x – 2\sqrt {4x – 1} } + \sqrt {4x + 2\sqrt {4x – 1} } $ (với $\dfrac{1}{4} \le x \le \dfrac{1}{2}$) . Chọn câu đúng.

A.

$B > 2$
B.

$B > 1$
C.

$B = 1$
D.

$B < 2$

Câu 4 :

Cho $C = \sqrt {9 – \sqrt {5\sqrt 3 + 5\sqrt {8 + 10\sqrt {7 – 4\sqrt 3 } } } } $ và $B = \sqrt[3]{{1 + \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}}} + \sqrt[3]{{1 – \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}}}$ . Chọn câu đúng.

A.

$C = 2B$
B.

$B = 2C$
C.

$B = C$
D.

$B = – C$

Câu 5 :

Tính $x + y$ biết $\left( {x + \sqrt {{x^2} + 2018} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 2018} } \right) = 2018$.

A.

$x + y = 2018$
B.

$x + y = 2$
C.

$x + y = 1$
D.

$x + y = 0$

Câu 6 :

Giải phương trình $\sqrt {3x – 2} – \sqrt {x + 1} = 2{x^2} + x – 6$ ta được nghiệm duy nhất ${x_0}.$ Chọn câu đúng.

A.

${x_0} < 1$
B.

${x_0} > 2$
C.

$0 < {x_0} < 1.$
D.

$1 < {x_0} < 2.$

Câu 7 :

Cho $x + \sqrt 3 = 2.$ Tính giá trị của biểu thức: $H = {x^5} – 3{x^4} – 3{x^3} + 6{x^2} – 20x + 2024$.

A.

$H = 2019$
B.

$H = 2018$
C.

$H = 2020$
D.

$H = 2023$

Câu 8 :

Cho $x = \sqrt {4 + \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } } + \sqrt {4 – \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } } $. Chọn đáp án đúng về giá trị biểu thức: $P = \dfrac{{{x^4} – 4{x^3} + {x^2} + 6x + 12}}{{{x^2} – 2x + 12}}$

A.

$P > 2$
B.

$P > 1$
C.

$P > 0$
D.

$P > 3$

Câu 9 :

Phương trình $2\left( {1 – x} \right)\sqrt {{x^2} + 2x – 1} = {x^2} – 2x – 1$ có bao nhiêu nghiệm?

A.

$3$
B.

$3$
C.

$1$
D.

$2$

Câu 10 :

Tính giá trị biểu thức $P = x\sqrt {\dfrac{{\left( {1 + {y^2}} \right)\left( {1 + {z^2}} \right)}}{{1 + {x^2}}}} + y\sqrt {\dfrac{{\left( {1 + {z^2}} \right)\left( {1 + {x^2}} \right)}}{{1 + {y^2}}}} + z\sqrt {\dfrac{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)}}{{1 + {z^2}}}} $ với $x,y,z > 0$ và $xy + yz + zx = 1$.

A.

$P = 4$
B.

$P = 1$
C.

$P = 2$
D.

$P = 3$

Câu 11 :

Cho biểu thức: $Q = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} – {y^2}} }} – \left( {1 + \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} – {y^2}} }}} \right):\dfrac{y}{{x – \sqrt {{x^2} – {y^2}} }}$ với $x > y > 0$.

Câu 11.1

Rút gọn $Q.$

A

$Q = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt {x + y} }}$
B

$Q = \dfrac{{\sqrt {x + y} }}{{\sqrt {x – y} }}$
C

$Q = \dfrac{{\sqrt {x – y} }}{{\sqrt {x + y} }}$
D

$Q = \dfrac{{\sqrt y }}{{\sqrt {x + y} }}$

Câu 11.2

Khi $x = 3y$ thì giá trị của $Q$ bằng

A

$Q = 2$
B

$Q = \sqrt 2 $
C

$Q = \dfrac{1}{2}$
D

$Q = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$

Câu 12 :

Rút gọn biểu thức: $C = \left( {\dfrac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt {ab} + 1}} + \dfrac{{\sqrt {ab} + \sqrt a }}{{\sqrt {ab} – 1}} – 1} \right):\left( {\dfrac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt {ab} + 1}} – \dfrac{{\sqrt {ab} + \sqrt a }}{{\sqrt {ab} – 1}} + 1} \right)$ ta được:

A.

$C = 2\sqrt {ab} $
B.

$C = – 2\sqrt {ab} $
C.

$C = – \sqrt {ab} $
D.

$C = \sqrt {ab} $

Câu 13 :

Phương trình $\sqrt {x + 1} + \sqrt {6x – 14} = {x^2} – 5$ có bao nhiêu nghiệm?

A.

$2$
B.

$1$
C.

$0$
D.

$3$

Câu 14 :

Cho $A = \dfrac{{x\left( {\sqrt {x + 4\sqrt {x – 4} } + \sqrt {x – 4\sqrt {x – 4} } } \right)}}{{\sqrt {{x^2} – 8x + 16} }}$ với $x > 4$

Câu 14.1

Tìm giá trị nhỏ nhất của $A.$

A

$A = 8$
B

$A = 7$
C

$A = 6$
D

$A = 0$

Câu 14.2

Có bao nhiêu giá trị nguyên của $x$ để $A$ có giá trị nguyên.

A

$2$
B

$6$
C

$5$
D

$4$

Câu 15 :

Chọn câu đúng.

A.

$\dfrac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + …. + \dfrac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }} = 1$
B.

$\dfrac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + …. + \dfrac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }} < 3$
C.

$\dfrac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + …. + \dfrac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }} < 4$
D.

$\dfrac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + …. + \dfrac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }} > 4$

Câu 16 :

Với $x;\,\,y;\,\,z$ là các số thực thỏa mãn $x + y + z + xy + yz + zx = 6$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P = \sqrt {4 + {x^4}} + \sqrt {4 + {y^4}} + \sqrt {4 + {z^4}} $.

A.

${{\rm P}_{\min }} = \sqrt 5 $
B.

${{\rm P}_{\min }} = 3\sqrt 5 $
C.

${{\rm P}_{\min }} = 5\sqrt 3 $
D.

${{\rm P}_{\min }} = 3$

Câu 17 :

Cho biểu thức: $A = \left( {\dfrac{{x + 4\sqrt x + 4}}{{x + \sqrt x – 2}} + \dfrac{{x + \sqrt x }}{{1 – x}}} \right):\left( {\dfrac{1}{{\sqrt x + 1}} – \dfrac{1}{{1 – \sqrt x }}} \right)$ (với $x > 0;\,\,x \ne 1$).

Câu 17.1

Rút gọn biểu thức $A$.

A

$A = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}$
B

$A = \dfrac{{\sqrt x – 1}}{{\sqrt x }}$
C

$A = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}$
D

$A = \dfrac{1}{{\sqrt x + 1}}$

Câu 17.2

Có bao nhiêu giá trị nguyên của $x$ để $A \ge \dfrac{{1 + \sqrt {2018} }}{{\sqrt {2018} }}.$

A

$2020$
B

$2019$
C

$2018$
D

$2017$

Câu 18 :

Giả sử $a;\,\,b;\,\,c$ là các số thực dương. Chọn câu đúng.

A.

$\sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {1 + {b^2}} + \sqrt {1 + {c^2}} \le 2\left( {\sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a} } \right)$
B.

$\sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {1 + {b^2}} + \sqrt {1 + {c^2}} \ge 2\left( {\sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a} } \right)$
C.

$\sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {1 + {b^2}} + \sqrt {1 + {c^2}} \le \sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a} $
D.

$\sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {1 + {b^2}} + \sqrt {1 + {c^2}} \ge \sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a} $

Câu 19 :

Cho ba số thực dương: $a,b,c \le 1$ thỏa mãn: $a\sqrt {1 – {b^2}} + b\sqrt {1 – {c^2}} + c\sqrt {1 – {a^2}} = \dfrac{3}{2}$. Chọn câu đúng.

A.

${a^2} + {b^2} + {c^2} = \dfrac{3}{2}$
B.

${a^2} + {b^2} + {c^2} = 3$
C.

${a^2} + {b^2} + {c^2} = \dfrac{1}{2}$
D.

${a^2} + {b^2} + {c^2} = \dfrac{2}{3}$

Câu 20 :

Tổng các nghiệm của phương trình $\sqrt {\dfrac{{{x^2}}}{4} + \sqrt {{x^2} – 4} } = 8 – {x^2}$ là:

A.

$0$
B.

$5$
C.

$\dfrac{5}{2}$
D.

$ – \dfrac{5}{2}$

Câu 21 :

Cho biểu thức $P = \left( {\dfrac{{4\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }} + \dfrac{{8x}}{{4 – x}}} \right):\left( {\dfrac{{\sqrt x – 1}}{{x – 2\sqrt x }} – \dfrac{2}{{\sqrt x }}} \right)$

Câu 21.1

Tìm $x$ để $P = – 1.$

A

$x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$
B

$x = \dfrac{3}{4}$
C

$x = \dfrac{9}{{16}}$
D

$x = \dfrac{9}{{25}}$

Câu 21.2

Tìm $m$ để với mọi giá trị $x > 9$ ta có: $m\left( {\sqrt x – 3} \right)P > x + 1$

A

$m > \dfrac{5}{{18}}$
B

$m < \dfrac{5}{{18}}$
C

$m < \dfrac{1}{4}$
D

$m > \dfrac{1}{4}$

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Rút gọn biểu thức $P = \dfrac{{2\sqrt 6 + \sqrt 3 + 4\sqrt 2 + 3}}{{\sqrt {11 + 2\left( {\sqrt 6 + \sqrt {12} + \sqrt {18} } \right)} }}$ ta được

A.

$P = \sqrt 3 – 1$
B.

$P = \sqrt 3 + 1$
C.

$P = 2\sqrt 3 $
D.

$P = \sqrt 3 + 2$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ Sử dụng công thức khai phương một tích $\sqrt {AB} = \sqrt A .\sqrt B \left( {A;B \ge 0} \right)$

+ Sử dụng hẳng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$ và ${\left( {a + b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ac} \right)$

Lời giải chi tiết :

Ta có $P = \dfrac{{2\sqrt 6 + \sqrt 3 + 4\sqrt 2 + 3}}{{\sqrt {11 + 2\left( {\sqrt 6 + \sqrt {12} + \sqrt {18} } \right)} }}$

$ = \dfrac{{\left( {\sqrt 6 + 3 + 3\sqrt 2 } \right) + \left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 6 } \right)}}{{\sqrt {2 + 3 + 6 + 2\left( {\sqrt 2 .\sqrt 3 + \sqrt 2 .\sqrt 6 + \sqrt 3 .\sqrt 6 } \right)} }}$

$ = \dfrac{{\sqrt 3 \left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 6 } \right) + \left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 6 } \right)}}{{\sqrt {2 + 3 + 6 + 2\left( {\sqrt 2 .\sqrt 3 + \sqrt 2 .\sqrt 6 + \sqrt 3 .\sqrt 6 } \right)} }}$

$ = \dfrac{{\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 6 } \right)\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 6 } \right)}^2}} }}$

$ = \dfrac{{\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 6 } \right)\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 6 }}$

$ = \sqrt 3 + 1.$

Vậy $P = \sqrt 3 + 1$ .

Câu 2 :

Rút gọn biểu thức $A = \sqrt x – \sqrt {x – \sqrt x + \dfrac{1}{4}} $ khi $x \ge 0$ ta được:

A.

$A = \dfrac{1}{2}$
B.

$A = 2\sqrt x + \dfrac{1}{2}$
C.

$A = \dfrac{1}{2}$ hoặc $A = 2\sqrt x – \dfrac{1}{2}$
D.

$A = 2\sqrt x – \dfrac{1}{2}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$

Lời giải chi tiết :

Ta có $A = \sqrt x – \sqrt {x – \sqrt x + \dfrac{1}{4}} = \sqrt x – \sqrt {{{\left( {\sqrt x – \dfrac{1}{2}} \right)}^2}} = \sqrt x – \left| {\sqrt x – \dfrac{1}{2}} \right|$

+ Nếu $\sqrt x \ge \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x \ge \dfrac{1}{4}$ thì $\left| {\sqrt x – \dfrac{1}{2}} \right| = \sqrt x – \dfrac{1}{2} \Rightarrow A = \dfrac{1}{2}$.

+ Nếu $\sqrt x < \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow 0 \le x < \dfrac{1}{4}$ thì $\left| {\sqrt x – \dfrac{1}{2}} \right| = – \sqrt x + \dfrac{1}{2} \Rightarrow A = 2\sqrt x – \dfrac{1}{2}$

Vậy $A = \dfrac{1}{2}$ hoặc $A = 2\sqrt x – \dfrac{1}{2}.$

Câu 3 :

Cho biểu thức $B = \sqrt {4x – 2\sqrt {4x – 1} } + \sqrt {4x + 2\sqrt {4x – 1} } $ (với $\dfrac{1}{4} \le x \le \dfrac{1}{2}$) . Chọn câu đúng.

A.

$B > 2$
B.

$B > 1$
C.

$B = 1$
D.

$B < 2$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng hẳng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}
A\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,A \ge 0\\
– A\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,A < 0\,
\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$B = \sqrt {4x – 2\sqrt {4x – 1} } + \sqrt {4x + 2\sqrt {4x – 1} } = \sqrt {4x – 1 – 2\sqrt {4x – 1} + 1} + \sqrt {4x – 1 + 2\sqrt {4x – 1} + 1} $

$B = \sqrt {{{\left( {\sqrt {4x – 1} – 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt {4x – 1} + 1} \right)}^2}} = \left| {\sqrt {4x – 1} – 1} \right| + \left| {\sqrt {4x – 1} + 1} \right|$

$ = \left| {\sqrt {4x – 1} – 1} \right| + \sqrt {4x – 1} + 1$

Với $\dfrac{1}{4} \le x \le \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow 1 \le 4x \le 2 \Leftrightarrow 0 \le 4x – 1 \le 1$

Từ đó $\left| {\sqrt {4x – 1} – 1} \right| = – \sqrt {4x – 1} + 1$ suy ra $B = – \sqrt {4x – 1} + 1 + \sqrt {4x – 1} + 1 = 2$.

Do đó $B > 1.$

Câu 4 :

A.

$C = 2B$
B.

$B = 2C$
C.

$B = C$
D.

$B = – C$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+ Sử dụng hẳng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$ và $\sqrt[3]{{{A^3}}} = A$

+ Áp dụng hằng đẳng thức ${\left( {u + v} \right)^3} = {u^3} + {v^3} + 3uv\left( {u + v} \right)$

Lời giải chi tiết :

+ Tính giá trị $C.$

Vì $7 – 4\sqrt 3 = {\left( {2 – \sqrt 3 } \right)^2} \Rightarrow \sqrt {7 – 4\sqrt 3 } = 2 – \sqrt 3 $

Suy ra $C = \sqrt {9 – \sqrt {5\sqrt 3 + 5\sqrt {8 + 10(2 – \sqrt 3 )} } } = \sqrt {9 – \sqrt {5\sqrt 3 + 5\sqrt {28 – 10\sqrt 3 } } } $$ = \sqrt {9 – \sqrt {5\sqrt 3 + 5\sqrt {{{\left( {5 – \sqrt 3 } \right)}^2}} } } .$ Hay $C = \sqrt {9 – \sqrt {5\sqrt 3 + 5(5 – \sqrt 3 )} } = \sqrt {9 – \sqrt {25} } = \sqrt {9 – 5} = \sqrt 4 = 2$

+ Tính giá trị $B.$

Áp dụng hằng đẳng thức: ${\left( {u + v} \right)^3} = {u^3} + {v^3} + 3uv\left( {u + v} \right).$ Ta có:

$B = \sqrt[3]{{1 + \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}}} + \sqrt[3]{{1 – \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}}}$

Suy ra ${B^3} = {\left( {\sqrt[3]{{1 + \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}}} + \sqrt[3]{{1 – \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}}}} \right)^3}$$ = 1 + \dfrac{{\sqrt {84} }}{9} + 1 – \dfrac{{\sqrt {84} }}{9} + 3\left( {\sqrt[3]{{1 + \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}}}.\sqrt[3]{{1 – \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}}}} \right)\left( {\sqrt[3]{{1 + \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}}} + \sqrt[3]{{1 – \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}}}} \right).$

Hay ${B^3} = 2 + 3\sqrt[3]{{\left( {1 + \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}} \right)\left( {1 – \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}} \right)}}.B $$\Leftrightarrow {B^3} = 2 + 3\sqrt[3]{{1 – \dfrac{{84}}{{81}}}}B $$\Leftrightarrow {B^3} = 2 – B \Leftrightarrow {B^3} + B – 2 = 0$$ \Leftrightarrow {B^3} – {B^2} + {B^2} – B + 2B – 2 = 0$$ \Leftrightarrow {B^2}\left( {B – 1} \right) + B\left( {B – 1} \right) + 2\left( {B – 1} \right) = 0$$ \Leftrightarrow \left( {B – 1} \right)\left( {{B^2} + B + 2} \right) = 0$ mà ${B^2} + B + 2 = {\left( {B + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{7}{4} > 0$ suy ra $B = 1$.

Do đó ta có $C = 2;\,B = 1 \Rightarrow C = 2B.$

Câu 5 :

Tính $x + y$ biết $\left( {x + \sqrt {{x^2} + 2018} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 2018} } \right) = 2018$.

A.

$x + y = 2018$
B.

$x + y = 2$
C.

$x + y = 1$
D.

$x + y = 0$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+ Sử dụng hằng đẳng thức $\left( {a + b} \right)\left( {a – b} \right) = {a^2} – {b^2}$ và giả thiết để chỉ ra $\sqrt {{x^2} + 2018} – x = \sqrt {{y^2} + 2018} + y$ và $\sqrt {{y^2} + 2018} – y=\sqrt {{x^2} + 2018} + x$

+ Từ đó tìm ra giá trị của $x + y$

Lời giải chi tiết :

Nhận xét: $\left( {\sqrt {{x^2} + 2018} + x} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 2018} – x} \right) = {x^2} + 2018 – {x^2} = 2018$ và $\left( {\sqrt {{y^2} + 2018} + y} \right)\left( {\sqrt {{y^2} + 2018} – y} \right) = {y^2} + 2018 – {y^2} = 2018$

Kết hợp với giả thiết $\left( {x + \sqrt {{x^2} + 2018} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 2018} } \right) = 2018$ ta có:

$\frac{2018}{\sqrt {x^2+2018}-x}.\left( {\sqrt {{y^2} + 2018} + y} \right) = 2018$ suy ra $\sqrt {{x^2} + 2018} – x = \sqrt {{y^2} + 2018} + y$ và

$\left( {\sqrt {{x^2} + 2018} + x} \right).\frac{2018}{\sqrt {y^2+2018}-y} = 2018$ suy ra $\sqrt {{y^2} + 2018} – y=\sqrt {{x^2} + 2018} + x$

$ \Rightarrow \sqrt {{y^2} + 2018} + y + \sqrt {{x^2} + 2018} + x = \sqrt {{x^2} + 2018} – x + \sqrt {{y^2} + 2018} – y \Leftrightarrow 2\left( {x + y} \right) = 0$$ \Leftrightarrow x + y = 0.$

Câu 6 :

Giải phương trình $\sqrt {3x – 2} – \sqrt {x + 1} = 2{x^2} + x – 6$ ta được nghiệm duy nhất ${x_0}.$ Chọn câu đúng.

A.

${x_0} < 1$
B.

${x_0} > 2$
C.

$0 < {x_0} < 1.$
D.

$1 < {x_0} < 2.$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+ Tìm điều kiện

+ Nhân liên hợp vế trái.

+ Đưa về phương trình tích để tìm $x.$

+ Kết hợp điều kiện rồi kết luận

Lời giải chi tiết :

Điều kiện $x \ge \dfrac{2}{3}.$

$PT \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {\sqrt {3x – 2} – \sqrt {x + 1} } \right)\left( {\sqrt {3x – 2} + \sqrt {x + 1} } \right)}}{{\sqrt {3x – 2} + \sqrt {x + 1} }} = \left( {2x – 3} \right)\left( {x + 2} \right)$

$ \Leftrightarrow \dfrac{{2x – 3}}{{\sqrt {3x – 2} + \sqrt {x + 1} }} = \left( {2x – 3} \right)\left( {x + 2} \right)$

$ \Leftrightarrow \left( {2x – 3} \right)\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {3x – 2} + \sqrt {x + 1} }} – \left( {x + 2} \right)} \right) = 0$

+) $\dfrac{1}{{\sqrt {3x – 2} + \sqrt {x + 1} }} = x + 2$ $\left( {{\rm{VN\,do }}\,\dfrac{1}{{\sqrt {3x – 2} + \sqrt {x + 1} }} < 1 < x + 2} \right)$

+) $2x – 3 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{2}$ (thỏa mãn).

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là ${x_0} = \dfrac{3}{2} \cdot $

Từ đó ta có $1 < {x_0} < 2.$

Câu 7 :

Cho $x + \sqrt 3 = 2.$ Tính giá trị của biểu thức: $H = {x^5} – 3{x^4} – 3{x^3} + 6{x^2} – 20x + 2024$.

A.

$H = 2019$
B.

$H = 2018$
C.

$H = 2020$
D.

$H = 2023$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+ Biến đổi giả thiết $x + \sqrt 3 = 2$ để tìm hệ thức liên quan đến $x.$

+ Tách và nhóm các hạng tử thích hợp của $H$ để xuất hiện các hệ thức vừa tìm được.

+ Từ đó tính giá trị biểu thức $H.$

Lời giải chi tiết :

Ta có $x + \sqrt 3 = 2 \Leftrightarrow 2 – x = \sqrt 3 \Rightarrow {\left( {2 – x} \right)^2} = 3 \Leftrightarrow 4 – 4x + {x^2} = 3 \Leftrightarrow {x^2} – 4x + 1 = 0.$

Suy ra: $H = \left( {{x^5} – 4{x^4} + {x^3}} \right) + \left( {{x^4} – 4{x^3} + {x^2}} \right) + 5\left( {{x^2} – 4x + 1} \right) + 2019.$

Do ${x^2} – 4x + 1 = 0$ nên $H = 2019.$

Câu 8 :

A.

$P > 2$
B.

$P > 1$
C.

$P > 0$
D.

$P > 3$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

+ Sử dụng hằng đẳng thức ${\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}$ và $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$ để thu gọn $x.$

+ Từ đó biến đổi $x$ để thu được hệ thức ${x^2} – 2x = 4$

+ Biến đổi $P$ để xuất hiện hạng tử ${x^2} – 2x$ từ đó tính giá trị biểu thức $P.$

Lời giải chi tiết :

Ta có: ${x^2} = {\left( {\sqrt {4 + \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } } + \sqrt {4 – \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } } } \right)^2} = 8 + 2\sqrt {4 + \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } } .\sqrt {4 – \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } } $ $ \Leftrightarrow {x^2} = 8 + 2\sqrt {6 – 2\sqrt 5 } = 8 + 2\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 – 1} \right)}^2}} $$= 8 + 2\left( {\sqrt 5 – 1} \right) = 6 + 2\sqrt 5 = {\left( {\sqrt 5 + 1} \right)^2}$$ \Rightarrow x = \sqrt 5 + 1$.

Từ đó ta suy ra $x – 1 = \sqrt 5 \Rightarrow {\left( {x – 1} \right)^2} = 5 \Leftrightarrow {x^2} – 2x = 4.$

Ta biến đổi: $P = \dfrac{{{{\left( {{x^2} – 2x} \right)}^2} – 3\left( {{x^2} – 2x} \right) + 12}}{{{x^2} – 2x + 12}}$$ = \dfrac{{{4^2} – 3.4 + 12}}{{4 + 12}} = .1$

Vậy $P = 1 > 0$

Câu 9 :

Phương trình $2\left( {1 – x} \right)\sqrt {{x^2} + 2x – 1} = {x^2} – 2x – 1$ có bao nhiêu nghiệm?

A.

$3$
B.

$3$
C.

$1$
D.

$2$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+ Tìm điều kiện.

+ Đặt ẩn phụ và biến đổi để đưa về dạng phương trình tích.

Lời giải chi tiết :

Điều kiện ${x^2} + 2x – 1 \ge 0$. Đặt $t = \sqrt {{x^2} + 2x – 1} \ge 0.$

Phương trình trở thành $\left( {{x^2} + 2x – 1} \right) + 2\left( {x – 1} \right)\sqrt {{x^2} + 2x – 1} – 4x = 0$$\Leftrightarrow {t^2} + 2\left( {x – 1} \right)t – 4x = 0$ $\Leftrightarrow {t^2} + 2x.t – 2t – 4x = 0$$ \Leftrightarrow t\left( {t + 2x} \right) – 2\left( {t + 2x} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow \left( {t – 2} \right)\left( {t + 2x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\\t = – 2x\end{array} \right.$

Với $t = 2,$ ta có $\sqrt {{x^2} + 2x – 1} = 2 $$\Leftrightarrow {x^2} + 2x – 5 = 0 $$ \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} – 6 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} = 6$$\Leftrightarrow x = – 1 \pm \sqrt 6 $ (nhận)

Với $t = – 2x,$ ta có $\sqrt {{x^2} + 2x – 1} = – 2x $$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 0\\3{x^2} – 2x + 1 = 0\end{array} \right.$$\left\{ \begin{array}{l}
x \le 0\\
3\left( {x – \dfrac{1}{3}} \right)^2 + \dfrac{2}{3} = 0
\end{array} \right.$ vô nghiệm.

Vậy phương trình có nghiệm $x = – 1 \pm \sqrt 6 $.

Câu 10 :

A.

$P = 4$
B.

$P = 1$
C.

$P = 2$
D.

$P = 3$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

+ Sử dụng điều kiện $xy + yz + zx = 1$ để phân tích $\left( {1 + {x^2}} \right);\left( {1 + {y^2}} \right);\left( {1 + {z^2}} \right)$ thành nhân tử.

+ Thay vào biểu thức $P$ để rút gọn và tính toán.

Lời giải chi tiết :

Vì $xy + yz + zx = 1$ nên $1 + {x^2} = {x^2} + xy + yz + zx = (x + y)(x + z)$

Tương tự đối với $1 + {y^2} = \left( {y + x} \right)\left( {y + z} \right);1 + {z^2} = \left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right)$

Từ đó ta có:

+) $x\sqrt {\dfrac{{\left( {1 + {y^2}} \right)\left( {1 + {z^2}} \right)}}{{1 + {x^2}}}} = x\sqrt {\dfrac{{\left( {y + x} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)}}} = x\left( {y + z} \right)$

+) $y\sqrt {\dfrac{{\left( {1 + {z^2}} \right)\left( {1 + {x^2}} \right)}}{{1 + {y^2}}}} $$ = y\sqrt {\dfrac{{\left( {z + y} \right)\left( {z + x} \right)\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)}}} = y\left( {x + z} \right)$

+) $z\sqrt {\dfrac{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)}}{{1 + {z^2}}}} $$ = z\sqrt {\dfrac{{\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)\left( {y + x} \right)\left( {y + z} \right)}}{{\left( {z + x} \right)\left( {y + z} \right)}}} = z\left( {x + y} \right)$

Suy ra $P = x\left( {y + z} \right) + y\left( {z + x} \right) + z\left( {x + y} \right) = 2\left( {xy + yz + zx} \right) = 2$. (vì $xy + yz + zx = 1$).

Câu 11 :

Cho biểu thức: $Q = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} – {y^2}} }} – \left( {1 + \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} – {y^2}} }}} \right):\dfrac{y}{{x – \sqrt {{x^2} – {y^2}} }}$ với $x > y > 0$.

Câu 11.1

Rút gọn $Q.$

A

$Q = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt {x + y} }}$
B

$Q = \dfrac{{\sqrt {x + y} }}{{\sqrt {x – y} }}$
C

$Q = \dfrac{{\sqrt {x – y} }}{{\sqrt {x + y} }}$
D

$Q = \dfrac{{\sqrt y }}{{\sqrt {x + y} }}$

Đáp án: C

Phương pháp giải :

Quy đồng mẫu, thực hiện rút gọn các biểu thức chú ý thứ tự thực hiện phép tính nhân chia trước cộng trừ sau.

Lời giải chi tiết :

Ta có $Q = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} – {y^2}} }} – \left( {1 + \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} – {y^2}} }}} \right):\dfrac{y}{{x – \sqrt {{x^2} – {y^2}} }}$

$\begin{array}{l} = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} – {y^2}} }} – \dfrac{{x + \sqrt {{x^2} – {y^2}} }}{{\sqrt {{x^2} – {y^2}} }} \cdot \dfrac{{x – \sqrt {{x^2} – {y^2}} }}{y}\\ = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} – {y^2}} }} – \dfrac{{{x^2} – {x^2} + {y^2}}}{{y\sqrt {{x^2} – {y^2}} }}\\ = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} – {y^2}} }} – \dfrac{y}{{\sqrt {{x^2} – {y^2}} }}\\ = \dfrac{{{{\left( {\sqrt {x – y} } \right)}^2}}}{{\sqrt {x + y} .\sqrt {x – y} }}\\ = \dfrac{{\sqrt {x – y} }}{{\sqrt {x + y} }}\end{array}$

Vậy $Q = \dfrac{{\sqrt {x – y} }}{{\sqrt {x + y} }}$ với $x > y > 0$

Câu 11.2

Khi $x = 3y$ thì giá trị của $Q$ bằng

A

$Q = 2$
B

$Q = \sqrt 2 $
C

$Q = \dfrac{1}{2}$
D

$Q = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$

Đáp án: D

Phương pháp giải :

+ Sử dụng kết quả rút gọn câu trước $Q = \dfrac{{\sqrt {x – y} }}{{\sqrt {x + y} }}$ với $x > y > 0$

+ Thay $x = 3y$ để tính giá trị của $Q.$

Lời giải chi tiết :

Theo câu trước ta có $Q = \dfrac{{\sqrt {x – y} }}{{\sqrt {x + y} }}$ với $x > y > 0$

Thay $x = 3y$ (thỏa mãn ĐK) vào biểu thức Q, ta được:

$Q = \dfrac{{\sqrt {3y – y} }}{{\sqrt {3y + y} }} = \dfrac{{\sqrt {2y} }}{{\sqrt {4y} }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$

Vậy $Q = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$ khi $x = 3y$.

Câu 12 :

A.

$C = 2\sqrt {ab} $
B.

$C = – 2\sqrt {ab} $
C.

$C = – \sqrt {ab} $
D.

$C = \sqrt {ab} $

Đáp án : C

Phương pháp giải :

+ Tìm điều kiện.

+ Dùng các phép biến đổi căn thức để qui đồng từng ngoặc và rút gọn.

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}a \ge 0\\b \ge 0\\ab \ne 1\end{array} \right.$

Ta có: $\dfrac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt {ab} + 1}} + \dfrac{{\sqrt {ab} + \sqrt a }}{{\sqrt {ab} – 1}} – 1 = \dfrac{{a\sqrt b – \sqrt a + \sqrt {ab} – 1 + ab + a\sqrt b + \sqrt {ab} + \sqrt a – ab + 1}}{{ab – 1}}$

$ = \dfrac{{2a\sqrt b + 2\sqrt {ab} }}{{ab – 1}} = \dfrac{{2\sqrt {ab} \left( {\sqrt a + 1} \right)}}{{ab – 1}}.$

Và $\dfrac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt {ab} + 1}} – \dfrac{{\sqrt {ab} + \sqrt a }}{{\sqrt {ab} – 1}} + 1 = \dfrac{{a\sqrt b – \sqrt a + \sqrt {ab} – 1 – ab – a\sqrt b – \sqrt {ab} – \sqrt a + ab – 1}}{{ab – 1}}$

$ = \dfrac{{ – 2\sqrt a – 2}}{{ab – 1}} = \dfrac{{ – 2\left( {\sqrt a + 1} \right)}}{{ab – 1}}$

Nên $C = \dfrac{{2\sqrt {ab} \left( {\sqrt a + 1} \right)}}{{ab – 1}}:\dfrac{{ – 2\left( {\sqrt a + 1} \right)}}{{ab – 1}} = – \sqrt {ab} .$

Câu 13 :

Phương trình $\sqrt {x + 1} + \sqrt {6x – 14} = {x^2} – 5$ có bao nhiêu nghiệm?

A.

$2$
B.

$1$
C.

$0$
D.

$3$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ Tìm điều kiện

+ Thêm bớt các hệ số tự do vào vế trái để nhóm thành các nhóm thích hợp. Từ đó thực hiện phép nhân liên hợp với mỗi nhóm để đưa về dạng phương trình tích.

+ Giải các phương trình thu được bằng phương pháp đánh giá.

+ So sánh điều kiện và kết luận nghiệm.

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: $x \ge \dfrac{7}{3}.$

Nhận xét: Với $x \ge \dfrac{7}{3}$ thì ${x^2} – 5 > 0.$

Ta có: $\sqrt {x + 1} + \sqrt {6x – 14} = {x^2} – 5 \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} – 2 + \sqrt {6x – 14} – 2 = {x^2} – 9.$

$ \Leftrightarrow \dfrac{{x – 3}}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + \dfrac{{6\left( {x – 3} \right)}}{{\sqrt {6x – 14} + 2}} – \left( {x – 3} \right)\left( {x + 3} \right) = 0.$

$ \Leftrightarrow \left( {x – 3} \right)\left[ {\dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + \dfrac{6}{{\sqrt {6x – 14} + 2}} – \left( {x + 3} \right)} \right] = 0.$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x – 3 = 0\\\dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + \dfrac{6}{{\sqrt {6x – 14} + 2}} – \left( {x + 3} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\,\,\left( {TM} \right)\\\dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + \dfrac{6}{{\sqrt {6x – 14} + 2}} = \left( {x + 3} \right){\rm{ }}\left( * \right)\end{array} \right..$

Ta có: $\dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} < \dfrac{1}{2};\,\dfrac{6}{{\sqrt {6x – 14} + 2}} < \dfrac{6}{2} \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + \dfrac{6}{{\sqrt {6x – 14} + 2}} < \dfrac{7}{2}$

Và $x + 3 \ge \dfrac{7}{3} + 3 \Leftrightarrow x + 3 \ge \dfrac{{16}}{3}\,\,\left( {{\rm{do}}\,x \ge \dfrac{7}{3}} \right)$

Từ đó: $\left\{ \begin{array}{l}VT\left( * \right) < \dfrac{7}{2}\\VP\left( * \right) \ge \dfrac{{16}}{3}\end{array} \right.{\rm{ }}\left( {\forall x \ge \dfrac{7}{3}} \right) \Rightarrow {\rm{ }}PT\,\left( * \right)$ vô nghiệm.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = 3.$

Câu 14 :

Cho $A = \dfrac{{x\left( {\sqrt {x + 4\sqrt {x – 4} } + \sqrt {x – 4\sqrt {x – 4} } } \right)}}{{\sqrt {{x^2} – 8x + 16} }}$ với $x > 4$

Câu 14.1

Tìm giá trị nhỏ nhất của $A.$

A

$A = 8$
B

$A = 7$
C

$A = 6$
D

$A = 0$

Đáp án: A

Phương pháp giải :

+ Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{X^2}} = \left| X \right|$ để rút gọn $A.$

+ Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để tìm giá trị nhỏ nhất của $A.$

Cho $a,b \ge 0$ ta có $a + b \ge 2\sqrt {ab} $

Dấu “=” xảy ra khi $a = b.$

Lời giải chi tiết :

+ Điều kiện để biểu thức $A$ xác định là $x > 4$.

+ Nhận thấy:

$\sqrt {x + 4\sqrt {x – 4} } = \sqrt {\left( {x – 4} \right) + 2.2\sqrt {x – 4} + 4} = \sqrt {{{\left( {\sqrt {x – 4} + 2} \right)}^2}} $$ = \left| {\sqrt {x – 4} + 2} \right| = \sqrt {x – 4} + 2.$

$\sqrt {x – 4\sqrt {x – 4} } = \sqrt {\left( {x – 4} \right) – 2.2\sqrt {x – 4} + 4} = \sqrt {{{\left( {\sqrt {x – 4} – 2} \right)}^2}} $$ = \left| {\sqrt {x – 4} – 2} \right|$

$\sqrt {{x^2} – 8x + 16} = \sqrt {{{\left( {x – 4} \right)}^2}} = \left| {x – 4} \right|$

Từ đó:

$A = \dfrac{{x\left( {\left| {\sqrt {x – 4} + 2} \right| + \left| {\sqrt {x – 4} – 2} \right|} \right)}}{{\left| {x – 4} \right|}} = $$\dfrac{{x\left( {\sqrt {x – 4} + 2 + \left| {\sqrt {x – 4} – 2} \right|} \right)}}{{x – 4}}$

+ Nếu $4 < x < 8$ thì $\sqrt {x – 4} – 2 < 0$ nên $A = \dfrac{{x\left( {\sqrt {x – 4} + 2 + 2 – \sqrt {x – 4} } \right)}}{{x – 4}} = \dfrac{{4x}}{{x – 4}} = 4 + \dfrac{{16}}{{x – 4}}$

Do $4 < x < 8$ nên $0 < x – 4 < 4 \Rightarrow A > 8$.

+ Nếu $x \ge 8$ thì $\sqrt {x – 4} – 2 \ge 0$ nên $A = \dfrac{{x\left( {\sqrt {x – 4} + 2 + \sqrt {x – 4} – 2} \right)}}{{x – 4}} = \dfrac{{2x\sqrt {x – 4} }}{{x – 4}} = \dfrac{{2x}}{{\sqrt {x – 4} }} = 2\sqrt {x – 4} + \dfrac{8}{{\sqrt {x – 4} }} \ge 2\sqrt {16} = 8$ (Theo bất đẳng thức Cô si). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $2\sqrt {x – 4} = \dfrac{8}{{\sqrt {x – 4} }} \Leftrightarrow x – 4 = 4 \Leftrightarrow x = 8$.

Vậy GTNN của $A$ bằng $8$ khi $x = 8$.

Câu 14.2

Có bao nhiêu giá trị nguyên của $x$ để $A$ có giá trị nguyên.

A

$2$
B

$6$
C

$5$
D

$4$

Đáp án: C

Phương pháp giải :

+ Sử dụng kết quả rút gọn của câu trước: $A = \left\{ \begin{array}{l}4 + \dfrac{{16}}{{x – 4}}\,\,\,khi\,\,\,4 < x < 8\\\dfrac{{2x}}{{\sqrt {x – 4} }}\,\,\,\,khi\,\,x \ge 8\end{array} \right.\,\,$

+ Lập luận để $\dfrac{n}{B} \in Z$ thì $B \in U\left( n \right)$.

Lời giải chi tiết :

Theo câu trước ta có: $A = \left\{ \begin{array}{l}4 + \dfrac{{16}}{{x – 4}}\,\,\,khi\,\,\,4 < x < 8\\\dfrac{{2x}}{{\sqrt {x – 4} }}\,\,\,\,khi\,\,x \ge 8\end{array} \right.\,\,$

+ Xét $4 < x < 8$ thì $A = 4 + \dfrac{{16}}{{x – 4}}$, ta thấy $A \in Z$ khi và chỉ khi $\dfrac{{16}}{{x – 4}} \in Z \Leftrightarrow x – 4$ là ước số nguyên dương của $16$. Hay $x – 4 \in \left\{ {1;2;4;8;16} \right\} \Leftrightarrow x = \left\{ {5;6;8;12;20} \right\}$ đối chiếu điều kiện suy ra: ${\rm{x}} = 5$ hoặc $x = 6$.

+ Xét $x \ge 8$ ta có: $A = \dfrac{{2x}}{{\sqrt {x – 4} }}$, đặt $\sqrt {x – 4} = m \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {m^2} + 4\\m \ge 2\end{array} \right.$ (ở đây $ m\in Z$ vì $x$ nguyên và $A$ nguyên), khi đó ta có: $A = \dfrac{{2\left( {{m^2} + 4} \right)}}{m} = 2m + \dfrac{8}{m}$ suy ra: $m \in \left\{ {2;4;8} \right\} \Leftrightarrow x \in \left\{ {8;20;68} \right\}$.

Tóm lại: Để $A$ nhận giá trị nguyên thì $x \in \left\{ {5;6;8;20;68} \right\}$.

Vậy có $5$ giá trị của $x$ thỏa mãn điều kiện đề bài.

Câu 15 :

Chọn câu đúng.

A.

$\dfrac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + …. + \dfrac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }} = 1$
B.

$\dfrac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + …. + \dfrac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }} < 3$
C.

$\dfrac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + …. + \dfrac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }} < 4$
D.

$\dfrac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + …. + \dfrac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }} > 4$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+ Đặt $A = \dfrac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + …. + \dfrac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }}$ và $B = \dfrac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 4 + \sqrt 5 }} + .. + \dfrac{1}{{\sqrt {80} + \sqrt {81} }}$

+ So sánh A và B

+ Tính $A + B$ bằng cách biến đổi và sử dụng $\dfrac{1}{{\sqrt k + \sqrt {k + 1} }} = \sqrt {k + 1} – \sqrt k $

+ Từ đó suy ra đáp án.

Lời giải chi tiết :

Xét $A = \dfrac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + …. + \dfrac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }}$, $B = \dfrac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 4 + \sqrt 5 }} + .. + \dfrac{1}{{\sqrt {80} + \sqrt {81} }}$

Vì $\sqrt 1 + \sqrt 2 < \sqrt 2 + \sqrt 3 < \sqrt 3 + \sqrt 4 < … < \sqrt {80} + \sqrt {81} $

Nên $\dfrac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} > \dfrac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }};…;$

$\dfrac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }} > \dfrac{1}{{\sqrt {80} + \sqrt {81} }}$ từ đó suy ra $A > B$.

Lại có: $A + B = \dfrac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + …. + \dfrac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {80} + \sqrt {81} }}$

Mặt khác ta có: $\dfrac{1}{{\sqrt k + \sqrt {k + 1} }} = \dfrac{{\left( {\sqrt {k + 1} – \sqrt k } \right)}}{{\left( {\sqrt {k + 1} + \sqrt k } \right)\left( {\sqrt {k + 1} – \sqrt k } \right)}} $$= \sqrt {k + 1} – \sqrt k $ $\left( {k \ge 0} \right)$

Suy ra: $A + B = \left( {\sqrt 2 – \sqrt 1 } \right) + \left( {\sqrt 3 – \sqrt 2 } \right) + … + \left( {\sqrt {81} – \sqrt {80} } \right) = \sqrt {81} – 1 = 8.$

Do $A > B$ suy ra $2A > A + B = 8 \Leftrightarrow A > 4$.

Câu 16 :

Với $x;\,\,y;\,\,z$ là các số thực thỏa mãn $x + y + z + xy + yz + zx = 6$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P = \sqrt {4 + {x^4}} + \sqrt {4 + {y^4}} + \sqrt {4 + {z^4}} $.

A.

${{\rm P}_{\min }} = \sqrt 5 $
B.

${{\rm P}_{\min }} = 3\sqrt 5 $
C.

${{\rm P}_{\min }} = 5\sqrt 3 $
D.

${{\rm P}_{\min }} = 3$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki và mở rộng của bất đẳng thức

+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho bốn số $x;\,\,y;\,\,z;\,\,t$: $\sqrt {\left({{x^2} + {y^2}} \right)\left( {{z^2} + {t^2}} \right)} \ge xz + yt.$

+ Phát triển tử bất đẳng thức trên để được bất đẳng thức :

$\sqrt {{x^2} + {y^2}} + \sqrt {{z^2} + {t^2}} \ge \sqrt {{{\left( {x + z} \right)}^2} + {{\left( {y + t} \right)}^2}}$ (*)

Từ đó sử dụng để làm bài.

Lời giải chi tiết :

Trước hết ta chứng minh với $x;y;z;t$ bất kì thì

$\sqrt {{x^2} + {y^2}} + \sqrt {{z^2} + {t^2}} \ge \sqrt {{{\left( {x + z} \right)}^2} + {{\left( {y + t} \right)}^2}} $ (*).

Thật vậy, bất đẳng thức (*) tương đương với

${x^2} + {y^2} + {z^2} + {t^2} + 2\sqrt {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {{z^2} + {t^2}} \right)} $$ \ge {x^2} + 2xz + {z^2} + {y^2} + 2yt + {t^2}$

$ \Leftrightarrow \sqrt {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {{z^2} + {t^2}} \right)} \ge xz + yt$

Đúng vì theo bất đẳng thức Bunhia cốp xki

$\sqrt {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {{z^2} + {t^2}} \right)} \ge \sqrt {{{\left( {xz + yt} \right)}^2}} $$= \left| {\left( {xz + yt} \right)} \right| \ge \left( {xz + yt} \right)$.

Áp dụng (*) ta có

$P = \sqrt {4 + {x^4}} + \sqrt {4 + {y^4}} + \sqrt {4 + {z^4}} $$ \ge \sqrt {{{\left( {2 + 2} \right)}^2} + {{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}^2}} + \sqrt {4 + {z^4}} $$ \ge \sqrt {{{\left( {2 + 2 + 2} \right)}^2} + {{\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)}^2}} $

$ = \sqrt {36 + {{\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)}^2}} $.

Ta có ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} + {\left( {x – y} \right)^2} + {\left( {y – z} \right)^2} + {\left( {z – x} \right)^2} \ge 0$

$ \Rightarrow 3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} + 3 \ge 2x + 2y + 2z + 2xy + 2yz + 2zx$

$ \Rightarrow 3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} + 3 \ge 2.6 = 12 $$\Rightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} \ge 3.$

Từ đó $P \ge \sqrt {36 + 9} = 3\sqrt 5 $.

Dấu “=” xảy ra $x = y = z = 1$.

Vậy ${{\rm P}_{\min }} = 3\sqrt 5 .$

Câu 17 :

Câu 17.1

Rút gọn biểu thức $A$.

A

$A = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}$
B

$A = \dfrac{{\sqrt x – 1}}{{\sqrt x }}$
C

$A = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}$
D

$A = \dfrac{1}{{\sqrt x + 1}}$

Đáp án: C

Phương pháp giải :

+ Phân tích mẫu thức thành nhân tử rồi qui đồng từng ngoặc để tính toán và rút gọn.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\dfrac{{x + 4\sqrt x + 4}}{{x + \sqrt x – 2}} + \dfrac{{x + \sqrt x }}{{1 – x}} = \dfrac{{{{\left( {\sqrt x + 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} – \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$

$ = \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x – 1}} – \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x – 1}} = \dfrac{2}{{\sqrt x – 1}}$

Và $\dfrac{1}{{\sqrt x + 1}} – \dfrac{1}{{1 – \sqrt x }} = \dfrac{{2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x – 1} \right)}}$

Từ đó: $A = \dfrac{2}{{\sqrt x – 1}}:\dfrac{{2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x – 1} \right)}} = \dfrac{2}{{\sqrt x – 1}}.\dfrac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x – 1} \right)}}{{2\sqrt x }}$$ = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}$

Vậy $A = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}$ với điều kiện $x > 0,\,\,x \ne 1$.

Câu 17.2

Có bao nhiêu giá trị nguyên của $x$ để $A \ge \dfrac{{1 + \sqrt {2018} }}{{\sqrt {2018} }}.$

A

$2020$
B

$2019$
C

$2018$
D

$2017$

Đáp án: D

Phương pháp giải :

+ Sử dụng kết quả câu trước $A = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}$, với điều kiện $x > 0,\,\,x \ne 1$.

+ Cho $A \ge \dfrac{{1 + \sqrt {2018} }}{{\sqrt {2018} }}$ sau đó biến đổi để tìm các giá trị của $x.$

Lời giải chi tiết :

Theo câu trước ta có: $A = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}$, với điều kiện $x > 0,\,\,x \ne 1$.

Để $A \ge \dfrac{{1 + \sqrt {2018} }}{{\sqrt {2018} }}$ $ \Leftrightarrow 1 + \dfrac{1}{{\sqrt x }} \ge 1 + \dfrac{1}{{\sqrt {2018} }}$$ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\sqrt x }} \ge \dfrac{1}{{\sqrt {2018} }}$

$ \Leftrightarrow \sqrt x \le \sqrt {2018} \Rightarrow 0 < x \le 2018$

Kết hợp điều kiện: $x > 0,\,\,x \ne 1$ và $x$ nguyên nên $x \in \left\{ {2;3;4;…;2018} \right\}$. Suy ra có $2017$ giá trị nguyên của $x$ thỏa mãn bài toán.

Câu 18 :

Giả sử $a;\,\,b;\,\,c$ là các số thực dương. Chọn câu đúng.

A.

$\sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {1 + {b^2}} + \sqrt {1 + {c^2}} \le 2\left( {\sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a} } \right)$
B.

$\sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {1 + {b^2}} + \sqrt {1 + {c^2}} \ge 2\left( {\sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a} } \right)$
C.

$\sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {1 + {b^2}} + \sqrt {1 + {c^2}} \le \sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a} $
D.

$\sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {1 + {b^2}} + \sqrt {1 + {c^2}} \ge \sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a} $

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Bài toán kết hợp cả hai bất đẳng thức quen thuộc là Cosi và Bunhiacopxki để chứng minh bất đẳng thức.

Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

+ Bất đẳng thức Cosi cho hai số thực dương: $a + b \ge 2\sqrt {ab} $.

+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số $(a;\,\,b);\,\,(c;\,\,d)$ ta có ${\left( {ac + bd} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right)$.

Lời giải chi tiết :

Theo bất đẳng thức Cô si:

$\sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {1 + {b^2}} \ge 2\sqrt {\sqrt {1 + {a^2}} \sqrt {1 + {b^2}} } = 2\sqrt[4]{(1 + {a^2}) (1 + {b^2})}.$

Theo bất đẳng thức Bunhia cốpxki:

$\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right) = \left( {1 + {a^2}} \right)\left( {{b^2} + 1} \right) \ge {(a + b)^2}$

$ \Rightarrow \sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {1 + {b^2}} \ge 2\sqrt {a + b} $

Tương tự: $\sqrt {1 + {b^2}} + \sqrt {1 + {c^2}} \ge 2\sqrt {b + c} $$ \Rightarrow \sqrt {1 + {c^2}} + \sqrt {1 + {a^2}} \ge 2\sqrt {c + a} $

Cộng cả ba bất đẳng thức trên rồi chia cho 2 ta có:

$\sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {1 + {b^2}} + \sqrt {1 + {c^2}} \ge \sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a} $

Dấu “=” xảy ra khi $a = b = c = 1.$

Câu 19 :

Cho ba số thực dương: $a,b,c \le 1$ thỏa mãn: $a\sqrt {1 – {b^2}} + b\sqrt {1 – {c^2}} + c\sqrt {1 – {a^2}} = \dfrac{3}{2}$. Chọn câu đúng.

A.

${a^2} + {b^2} + {c^2} = \dfrac{3}{2}$
B.

${a^2} + {b^2} + {c^2} = 3$
C.

${a^2} + {b^2} + {c^2} = \dfrac{1}{2}$
D.

${a^2} + {b^2} + {c^2} = \dfrac{2}{3}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm.

Cho $a,b \ge 0$ ta có $a + b \ge 2\sqrt {ab} $ .

Dấu “=” xảy ra khi $a = b.$

Lời giải chi tiết :

Vì $0 < a,b,c \le 1$ thì $1 – {a^2} \ge 0;\,1 – {b^2} \ge 0;\,1 – {c^2} \ge 0.$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm ta có:

$a\sqrt {1 – {b^2}} + b\sqrt {1 – {c^2}} + c\sqrt {1 – {a^2}} \le \dfrac{{{a^2} + 1 – {b^2}}}{2} + \dfrac{{{b^2} + 1 – {c^2}}}{2} + \dfrac{{{c^2} + 1 – {a^2}}}{2} = \dfrac{3}{2}$.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: $\left\{ \begin{array}{l}a = \sqrt {1 – {b^2}} \\b = \sqrt {1 – {c^2}} \\c = \sqrt {1 – {a^2}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 1 – {b^2}\\{b^2} = 1 – {c^2}\\{c^2} = 1 – {a^2}\end{array} \right. \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} = \dfrac{3}{2}$

Câu 20 :

Tổng các nghiệm của phương trình $\sqrt {\dfrac{{{x^2}}}{4} + \sqrt {{x^2} – 4} } = 8 – {x^2}$ là:

A.

$0$
B.

$5$
C.

$\dfrac{5}{2}$
D.

$ – \dfrac{5}{2}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+ Tìm điều kiện

+ Đặt $y = \sqrt {4 – {x^2}} $ sau đó đưa về phương trình tích ẩn $y$ .

+ Tìm $y$ sau đó thay trở lại phép đặt để tìm ra $x.$

Lời giải chi tiết :

Ta có $\sqrt {\dfrac{{{x^2}}}{4} + \sqrt {{x^2} – 4} } = 8 – {x^2} $$\Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 4\sqrt {{x^2} – 4} } = 16 – 2{x^2}$ (1)

ĐK: $ \left| x \right| \ge 2 $

Đặt $y = \sqrt {{x^2} – 4} {\rm{ }}\, (\, y \ge 0) \Rightarrow {x^2} = {y^2} + 4$

Phương trình (1) trở thành:

$\begin{array}{l}{\rm{ }}\sqrt {{y^2} + 4 + 4y} = 16 – 2\left( {{y^2} + 4} \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {y + 2} \right)}^2}} = 8 – 2{y^2}\\ \Leftrightarrow \left| {y + 2} \right| = 8 – 2{y^2}\\ \Leftrightarrow y + 2 = 8 – 2{y^2}\,{\rm{ }}({\rm{\,do\, }}y \ge 0 \Rightarrow y + 2 > 0)\\ \Leftrightarrow 2{y^2} + y – 6 = 0\\ \Leftrightarrow (y + 2)(2y – 3) = 0\\ \Leftrightarrow 2y – 3 = 0{\rm{ }}\,({\rm{\,do }}\,y + 2 > 0)\\ \Leftrightarrow y = \dfrac{3}{2}\end{array}$

Với $y = \dfrac{3}{2}$, ta có:

${x^2} = {\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^2} + 4 \Leftrightarrow {x^2} = \dfrac{{25}}{4} \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{5}{2}$

Kết hợp với điều kiện $ \Rightarrow x = \pm \dfrac{5}{2}$

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x = \pm \dfrac{5}{2}$.

Tổng các nghiệm của phương trình là $\dfrac{5}{2} + \dfrac{{ – 5}}{2} = 0.$

Câu 21 :

Cho biểu thức $P = \left( {\dfrac{{4\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }} + \dfrac{{8x}}{{4 – x}}} \right):\left( {\dfrac{{\sqrt x – 1}}{{x – 2\sqrt x }} – \dfrac{2}{{\sqrt x }}} \right)$

Câu 21.1

Tìm $x$ để $P = – 1.$

A

$x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$
B

$x = \dfrac{3}{4}$
C

$x = \dfrac{9}{{16}}$
D

$x = \dfrac{9}{{25}}$

Đáp án: C

Phương pháp giải :

+ Tìm điều kiện

+ Phân tích mẫu thức thành nhân tử rồi qui đồng mẫu các phân thức

+ Từ đó rút gọn biểu thức

+ Cho $P = – 1$ để tìm $x.$

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: $x > 0,x \ne 4,x \ne 9$

\(\begin{array}{l}P = \left( {\dfrac{{4\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }} + \dfrac{{8x}}{{4 – x}}} \right):\left( {\dfrac{{\sqrt x – 1}}{{x – 2\sqrt x }} – \dfrac{2}{{\sqrt x }}} \right)\\ = \left( {\dfrac{{4\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }} + \dfrac{{8x}}{{\left( {2 – \sqrt x } \right)\left( {2 + \sqrt x } \right)}}} \right):\left( {\dfrac{{\sqrt x – 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x – 2} \right)}} – \dfrac{2}{{\sqrt x }}} \right)\\ = \dfrac{{4\sqrt x \left( {2 – \sqrt x } \right) + 8x}}{{\left( {2 – \sqrt x } \right)\left( {2 + \sqrt x } \right)}}:\dfrac{{\sqrt x – 1 – 2\left( {\sqrt x – 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x – 2} \right)}}\\ = \dfrac{{8\sqrt x + 4x}}{{\left( {2 – \sqrt x } \right)\left( {2 + \sqrt x } \right)}}.\dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x – 2} \right)}}{{3 – \sqrt x }}\\ = \dfrac{{4\sqrt x \left( {2 + \sqrt x } \right)}}{{\left( {2 – \sqrt x } \right)\left( {2 + \sqrt x } \right)}}.\dfrac{{\sqrt x \left( {2 – \sqrt x } \right)}}{{\sqrt x – 3}}\\ = \dfrac{{4x}}{{\sqrt x – 3}}\end{array}\)

Với điều kiện: $x > 0,x \ne 4,x \ne 9$.

Ta có: $P = – 1$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{4x}}{{\sqrt x – 3}} = – 1 \Leftrightarrow 4x + \sqrt x – 3 = 0 \Leftrightarrow 4x + 4\sqrt x – 3\sqrt x – 3 = 0 \Leftrightarrow 4\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right) – 3\left( {\sqrt x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {4\sqrt x – 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x = – 1\left( {ktm} \right)\\\sqrt x = \dfrac{3}{4} \Leftrightarrow x = \dfrac{9}{{16}}\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}$

Vậy $x = \dfrac{9}{{16}}$ thì $P = – 1.$

Câu 21.2

Tìm $m$ để với mọi giá trị $x > 9$ ta có: $m\left( {\sqrt x – 3} \right)P > x + 1$

A

$m > \dfrac{5}{{18}}$
B

$m < \dfrac{5}{{18}}$
C

$m < \dfrac{1}{4}$
D

$m > \dfrac{1}{4}$

Đáp án: A

Phương pháp giải :

Sử dụng kết quả câu trước $P = \dfrac{{4x}}{{\sqrt x – 3}}$ với $x > 0,x \ne 4,x \ne 9$

Thay $P$ vào bất phương trình $m\left( {\sqrt x – 3} \right)P > x + 1$ từ đó tìm $m.$

Lời giải chi tiết :

Ta có $P = \dfrac{{4x}}{{\sqrt x – 3}}$ với $x > 0,x \ne 4,x \ne 9$

Khi đó

$\forall x > 9:m\left( {\sqrt x – 3} \right)P > x + 1 \Leftrightarrow m\left( {\sqrt x – 3} \right).\dfrac{{4x}}{{\sqrt x – 3}} > x + 1 \Leftrightarrow m.4x > x + 1 \Leftrightarrow m > \dfrac{{x + 1}}{{4x}}$

Ta thấy $\dfrac{{x + 1}}{{4x}} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{{4x}} < \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{{4.9}}$ với mọi $x > 9$ hay $\dfrac{{x + 1}}{{4x}} < \dfrac{5}{{18}}$

Vậy $m > \dfrac{{10}}{{36}} = \dfrac{5}{{18}}$ với mọi $x > 9$ .

TẢI APP ĐỂ XEM OFFLINE