2. Đề thi khảo sát chất lượng đầu năm – Đề số 2

Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta CHA\) ta có:

\(\widehat {BHA} = \widehat {AHC} = {90^0}\;\left( {gt} \right)\)

\(\widehat {HAB} = \widehat {HCA}\) (cùng phụ góc \(HAC\))

\( \Rightarrow \Delta AHB \backsim \Delta CHA\; (g – g)\)

Vì \(\Delta AHB \backsim \Delta CHA\) (chứng minh câu trước) nên \(\widehat {HBA} = \widehat {HAC}\) (cặp góc tương ứng)  (1)

Mà theo bài ra ta có:

\(\widehat {HBE} = \dfrac{1}{2}\widehat {HBA}\;\;\;(BK\) là phân giác của \(\widehat {ABC})\;\;\left( 2 \right)\)  

\(\widehat {HAD} = \dfrac{1}{2}\widehat {HAC}\;\;(AD\) là phân giác của \(\widehat {HAC})\;\;\left( 3 \right)\) 

Từ (1); (2); (3) ta có: \(\widehat {HBE} = \widehat {HAD} = \widehat {EAF}\)

Xét \(\Delta A{\rm{E}}F\) và \(\Delta BEH\) ta có:

            \(\widehat {HBE} = \widehat {EAF}\;\;\left( {cmt} \right)\)

            \(\widehat {HEB} = \widehat {FEA}\) (2 góc đối đỉnh)

\( \Rightarrow \Delta AEF \backsim \Delta BEH\;\;\left( {g – g} \right)\) 

*) Ta có: \(\Delta AEF \backsim \Delta BEH\) (theo câu  trước)

\( \Rightarrow \widehat {AFE} = \widehat {BHE} = {90^0}\)  (các góc tương ứng)

\( \Rightarrow BF \bot AD = \left\{ F \right\}.\)

Xét \(\Delta ABD\) ta có: \(BF\) vừa là đường cao đồng thời là đường phân giác của tam giác

\( \Rightarrow \Delta ABD\) là tam giác cân tại \(B \Rightarrow BF\) là đường phân giác của tam giác.

\( \Rightarrow F\) là trung điểm của \(AD\) hay \(AF = FD.\)

Xét \(\Delta AKD\) ta có: \(KF\) vừa là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của tam giác

\( \Rightarrow \Delta AKD\) là tam giác cân tại \(K.\)

\( \Rightarrow \widehat {KAD} = \widehat {KDA}\)  (hai góc kề đáy)

\( \Rightarrow \widehat {KAD} = \widehat {DAH}\;\left( { = \widehat {KAD}} \right)\)

Mà hai góc này là hai góc so le trong

\( \Rightarrow KD//AH.\) 

*) Xét \(\Delta BHA\) và \(\Delta BAC\) ta có:

\(\begin{array}{l}\widehat B:\;chung\\\widehat {BHA} = \widehat {BAC} = {90^0}\;\left( {gt} \right)\\ \Rightarrow \Delta BHA \backsim \Delta BAC\;\left({g – g}\right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{BH}}{{BA}} = \dfrac{{BA}}{{BC}}\)  (các cặp cạnh tương ứng)  (*)

Xét \(\Delta BHE\) và \(\Delta BAK\) ta có:

\(\begin{array}{l}\widehat {BHE} = \widehat {BAK} = {90^0}\;\;\left( {gt} \right)\\\widehat {HBE} = \widehat {ABK}\;\;\left( {gt} \right)\\ \Rightarrow \Delta BHE \backsim \Delta BAK\;\;\left( {g – g} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{BH}}{{BA}} = \dfrac{{HE}}{{AK}}\)  (các cặp cạnh tương ứng)

Mà \(\Delta AKD\) cân tại \(K\;\;\left( {cm\;c)} \right) \Rightarrow KA = KD\)

\( \Rightarrow \dfrac{{BH}}{{BA}} = \dfrac{{HE}}{{AK}} = \dfrac{{EH}}{{KD}}\)  (**)

Từ (*) và (**) ta có: \(\dfrac{{EH}}{{KD}} = \dfrac{{BA}}{{BC}}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{EH}}{{AB}} = \dfrac{{KD}}{{BC}}\) (đpcm).