Bài 7 trang 145 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 1

Đề bài

Cho tam giác ABC có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H.

a) Chứng minh rằng bốn điểm A, D, H, E cùng nằm trên một đường tròn (gọi tâm của nó là O).

b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ME là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Lời giải chi tiết

a) Ta có $CE \bot AB \Rightarrow \widehat {AEH} = {90^0}$

$\Rightarrow E$ thuộc đường tròn đường kính AH.

$BD \bot AC \Rightarrow \widehat {ADH} = {90^0} \Rightarrow D$ thuộc đường tròn đường kính AH.

$\Rightarrow$ 4 điểm $A,\,\,D,\,\,H,\,\,E$ cùng thuộc đừng tròn đường kính AH, O là tâm của đường tròn đường kính AH $\Rightarrow O$ là trung điểm của $AH$.

b) Kéo dài AH cắt BC tại F. Do H là trực tâm của tam giác ABC $\Rightarrow AF \bot BC$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\widehat {FAB} + \widehat {ABC} = {90^0}\\\widehat {BCE} + \widehat {ABC} = {90^0}\end{array} \right.$$\;\Rightarrow \widehat {FAB} = \widehat {BCE}$ (1).

Lại có : $\Delta OAE$ cân tại O $\left( {OA = OE} \right) \Rightarrow \widehat {FAB} = \widehat {OEA}$ (2)

$\Delta MEC$ cân tại M $\left( {ME = \dfrac{1}{2}BC = MC} \right)$$\Rightarrow \widehat {BCE} = \widehat {MEC}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) $\Rightarrow \widehat {OEA} = \widehat {MEC}$.

Mà $\widehat {OEA} + \widehat {OEH} = \widehat {AEH} = {90^0}$

$\Rightarrow \widehat {MEC} + \widehat {OEH} = {90^0}$

$\Rightarrow \widehat {OEM} = {90^0}$.

$\Rightarrow ME \bot OE$ tại E. Mà OE là bán kính của $\left( O \right)$.

Vậy ME là tiếp tuyến của $\left( O \right)$ tại E.

 Sachgiaihay.com