Bài 9 trang 145 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 1

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông ở A có AB = 8, AC = 15. Vẽ đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với B qua H. Vẽ đường tròn đường kính CD, cắt AC ở E.

a) Chứng minh rằng HE là tiếp tuyến của đường tròn.

b) Tính độ dài HE.

Lời giải chi tiết

a) Gọi $I$ là trung điểm của $CD \Rightarrow I$ là tâm đường tròn đường kính $CD$.

Xét tam giác $CDE$ có $IE = IC = ID = \dfrac{1}{2}CD \Rightarrow \Delta CDE$ vuông tại $E$.

$\Rightarrow ED \bot AC$. Mà $AB \bot AC\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow DE//AB \Rightarrow ABDE$ là hình thang.

Gọi $K$ là trung điểm của $AE$. Có $H$ là trung điểm của $BD\,\,\left( {gt} \right)$, do đó $HK$ là đường trung bình của hình thang $ABDE$.

$\Rightarrow HK//AB//DE$ $\Rightarrow HK \bot AC \Rightarrow HK \bot AE$.

Xét $\Delta AHE$ có $HK$ là trung tuyến đồng thời là đường cao $\Rightarrow \Delta AHE$ cân tại $H$.

$\Rightarrow \angle HAE = \angle HEA$ (2 góc ở đáy).

Mà $\angle HAE = \angle ABC$ (cùng phụ với $\angle BAH$) $\Rightarrow \angle ABC = \angle HEA$.

Xét tam giác $IEC$ có $IE = IC$ $\Rightarrow \Delta IEC$ cân tại $I$.

$\Rightarrow \angle IEC = \angle ICE = \angle ACB$.

Ta có : $\angle HEA + \angle HEI + \angle IEC = \angle AEC = {180^0}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \angle ABC + \angle HEI + \angle ACB = {180^0}\\ \Rightarrow \angle HEI = {180^0} – \left( {\angle ABC + \angle ACB} \right)\end{array}$.

Mà $\angle ABC + \angle ACB = {90^0}$ (hai góc nhọn phụ nhau trong tam giác vuông ABC)

$\Rightarrow \angle HEI = {90^0} \Rightarrow HE \bot IE$. Lại có $IE$ là bán kính của đường tròn đường kính $CD$.

Vậy $HE$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $CD$.

b) Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $ABC$ ta có :

$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {8^2} + {15^2} = 289$ $\Rightarrow BC = \sqrt {289}  = 17\,\,\left( {cm} \right)$.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $ABC$ ta có :

$AH.BC = AB.AC$ $\Rightarrow AH = \dfrac{{AB.AC}}{{BC}} = \dfrac{{8.15}}{{17}} = \dfrac{{120}}{{17}}\,\,\left( {cm} \right)$.

Do tam giác AHE cân tại E (cmt) $\Rightarrow HE = AH = \dfrac{{120}}{{17}}\,\left( {cm} \right)$.

Vậy $HE = \dfrac{{120}}{{17}}\,\,cm$.

 Sachgiaihay.com