Bài 6 trang 147 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 1

Đề bài

Cho đường tròn (O) đường kính BC = 2R. Lấy điểm A thuộc đường tròn sao cho AB < AC. Tiếp tuyến tại A cắt tiếp tuyến tại B và C của đường tròn tại E và F.

a) Chứng minh rằng EF = EB + FC.

b) Chứng minh rằng $BE.CF = {R^2}$.

c) Gọi M là giao điểm của EC và BF. Kẻ đường cao AH của tam giác ABC ( H thuộc BC). Chứng minh rằng ba điểm A, M, H thẳng hàng.

d) Trường hợp cho AB = R, chứng minh rằng tam giác AFC đều, tính theo R diện tích tam giác AFC.

Lời giải chi tiết

a) Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có : $EA = EB,\,\,FA = FC$

$\Rightarrow EF = EA + FA = EB + FC$.

b) Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có:

$OE$ là phân giác của $\angle AOB$

$OF$ là phân giác của $\angle AOC$.

Mà $\angle AOB$và $\angle AOC$ là 2 góc kề bù

$\Rightarrow OE \bot OF \Rightarrow \Delta OEF$ vuông tại O.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $OEF$ ta có : $O{A^2} = EA.FA \Rightarrow {R^2} = BE.CF$.

c) Ta có : $\dfrac{{FA}}{{EA}} = \dfrac{{FC}}{{EB}} = \dfrac{{FM}}{{BM}} \Rightarrow AM//BE$ (định lí Ta-lét đảo)

Mà $BE \bot BC\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow AM \bot BC$

Lại có $AH \bot BC\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow A,M,H$ thẳng hàng (Tiên đề Ơ-clit).

d) Ta có $OA = OB = AB = R \Rightarrow \Delta OAB$ đều $\Rightarrow \angle OBA = {60^0}$.

Ta có : $\left\{ \begin{array}{l}\angle OBA + \angle ACB = {90^0}\\\angle ACF + \angle ACB = {90^0}\end{array} \right.$

$\Rightarrow \angle ACF = \angle OBA = {60^0}$

Xét tam giác $ACF$ có :

$\left\{ \begin{array}{l}FA = FC\,\,\left( {cmt} \right)\\\angle ACF = {60^0}\,\,\left( {cmt} \right)\end{array} \right.$

$\Rightarrow \Delta ACF$ đều,

$A{C^2} = B{C^2} – A{B^2} = {\left( {2R} \right)^2} – {R^2}$$\, = 3{R^2}$

$\Rightarrow AC = R\sqrt 3$.

$\Rightarrow FA = FC = AC = R\sqrt 3$.

Gọi $K = AC \cap OF$ ta có :

$OA = OC = R \Rightarrow O$ thuộc trung trực của $AC$.

$FA = FC\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow F$ thuộc trung trực của $AC$

$\Rightarrow OF$ là trung trực của $AC \Rightarrow OF \bot AC$ tại $K$ là trung điểm của $AC$.

$\Rightarrow AK = \dfrac{{AC}}{2} = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{2}$.

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $FAK$ có :

$F{K^2} = F{A^2} – A{K^2}$$\,= {\left( {R\sqrt 3 } \right)^2} – {\left( {\dfrac{{R\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} = \dfrac{{9{R^2}}}{4}$

$\Rightarrow FK = \dfrac{{3R}}{2}$

Vậy ${S_{\Delta ACF}} = \dfrac{1}{2}FK.AC = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{3R}}{2}.R\sqrt 3$$\, = \dfrac{{3{R^2}\sqrt 3 }}{4}$.

 Sachgiaihay.com