Bài 4 trang 147 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 1

Đề bài

Cho đường tròn (O ; R), AB là đường kính. Trên (O) lấy điểm C sao cho AC = R.

a) Tính BC theo R.

b) Tiếp tuyến với đường tròn (O) tại C cắt đườn thẳng AB tại M. Lấy trên (O) điểm D sao cho MD = MC. Chứng minh rằng MD là tiếp tuyến của đường tròn (O).

c) Chứng minh rằng $M{C^2} = MA.MB$.

d) Kẻ đường kính DE của đường tròn (O), ME cắt (O) tại F. Gọi H là giao điểm của CD với MO. Chứng minh rằng : MF.ME = MH.MO.

Lời giải chi tiết

a) Do $C$ thuộc đường tròn đường kính $A \Rightarrow \angle ACB = {90^0} \Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại $C$ .

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $ABC$ ta có:

$B{C^2} = A{B^2} – A{C^2}$$\, = {\left( {2R} \right)^2} – {R^2} = 3{R^2}$

$\Rightarrow BC = R\sqrt 3$.

b) Xét $\Delta OMC$ và $\Delta OMD$ có :

$\begin{array}{l}OM\,\,chung\\OC = OD = R\\MC = MD\,\,\left( {gt} \right)\\ \Rightarrow \Delta OMC = \Delta OMD\,\,\left( {c.c.c} \right)\\ \Rightarrow \angle OCM = \angle ODM = {90^0}\end{array}$

$\Rightarrow MD \bot OD$ tại $D$. Mà $OD$ là bán kính của $\left( O \right)$.

Vậy $MD$ là tiếp tuyến của $\left( O \right)$.

c) Xét $\Delta OAC$ có $OA = OC = R$ $\Rightarrow \Delta OAC$ cân tại $O \Rightarrow \angle OAC = \angle OCA$.

Mà $\angle OAC + \angle B = {90^0}$ (hai góc nhọn trong tam giác vuông $ABC$).

$\angle OCA + \angle ACM = \angle OCM = {90^0}$

$\Rightarrow \angle ACM = \angle B$.

Xét $\Delta MAC$ và $\Delta ACB$ có :

$\begin{array}{l}\angle BMC\,\,chung;\\\angle ACM = \angle B\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta MAC \sim \Delta MCB\,\,\left( {g.g} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{MA}}{{MC}} = \dfrac{{MC}}{{MB}}\\ \Rightarrow M{C^2} = MA.MB\end{array}$

d) Vì $F$ thuộc đường tròn đường kính $DE \Rightarrow \angle DFE = {90^0} \Rightarrow DF \bot EF$

$MD$ là tiếp tuyến của $\left( O \right)\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow MD \bot DE$.

Xét $\Delta MDF$ và $\Delta MED$ có :

$\begin{array}{l}\angle DME\,\,chung\\\angle DFM = \angle EDM = {90^0}\\ \Rightarrow \Delta MDF \sim \Delta MED\,\,\left( {g.g} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{MD}}{{ME}} = \dfrac{{MF}}{{MD}}\\ \Rightarrow M{D^2} = ME.MF\end{array}$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $ODM$ ta có : $M{D^2} = MH.MO$.

Vậy $MH.MO = MF.ME$.

 Sachgiaihay.com