Bài 5 trang 147 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 1

Đề bài

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O ; R) có AB là đường kính (AC < BC). Đường thẳng song song với AC vẽ từ O cắt đường tròn (O) tại I ( A, C, I, B theo thứ tự).

a) Chứng minh rằng $OI \bot BC$.

b) Tiếp tuyến với đường tròn (O) tại B cắt đường thẳng OI tại M. Chứng minh rằng MC là tiếp tuyến của (O).

c) Kẻ CH vuông góc với AB tại H, gọi K là giao điểm của AM với CH. Chứng minh rằng K là trung điểm của CH.

Lời giải chi tiết

a) Do $C$ thuộc đường tròn đường kính $AB \Rightarrow \angle ACB = {90^0} \Rightarrow AC \bot BC$.

Mà $OI//AC\,\left( {gt} \right) \Rightarrow OI \bot BC$.

b) Vì $OI//AC\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle MOC = \angle OCA$ (so le trong) ; $\angle MOB = \angle OAC$(đồng vị).

Mà $\Delta OAC$ cân tại $O\,\,\left( {OA = OC} \right) \Rightarrow \angle OCA = \angle OAC$

$\Rightarrow \angle MOC = \angle MOB$

Xét $\Delta OMC$ và $\Delta OMB$ có :

$\begin{array}{l}OB = OC = R\\\angle MOC = \angle MOB\,\,\left( {cmt} \right)\\OM\,\,chung\\ \Rightarrow \Delta OMC = \Delta OMB\,\,\left( {c.g.c} \right)\\ \Rightarrow \angle OCM = \angle OBM = {90^0}\end{array}$

$\Rightarrow MC \bot OC$ tại $C$. Mà $OC$ là bán kính của $\left( O \right)$.

$\Rightarrow MC$ là tiếp tuyến của $\left( O \right)$.

c) Kéo dài AN cắt BM tại N.

Ta có $OI \bot BC\,\,\left( {cmt} \right)$$\Rightarrow OM \bot BC$.

Lại có $AC \bot BC\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow AC//OM$ hay $AN//BM$.

Xét tam giác ABN có :

$O$ là trung điểm của $AB$.

$AN//OM$ ;

$\Rightarrow M$ là trung điểm của $BN$ (tính chất đường trung bình của tam giác) $\Rightarrow BM = MN$.

Ta có : $CH \bot AB;\,\,BN \bot AB \Rightarrow CH//BN$.

Áp dụng định lí Ta-let ta có : $\dfrac{{KH}}{{BM}} = \dfrac{{AK}}{{AM}} = \dfrac{{KC}}{{MN}}$.

Mà $BM = MN\,\,\left( {cmt} \right)$ $\Rightarrow KH = AK$ $\Rightarrow K$ là trung điểm của $AH\,\,\left( {dpcm} \right)$.

 Sachgiaihay.com