Bài 1 trang 147 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 1

Đề bài

Cho đường tròn (O ; R), đường kính AB = 2R. Lấy điểm C trên đường tròn sao cho CA < CB. Vẽ dây CD vuông góc với AB tại H.

a) Chứng minh rằng tam giác ABC vuông và $C{D^2} = 4HA.HB$.

b) Đường thẳng (d) tiếp xúc với đường tròn (O) tại C. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B trên (d). Xét vị trí tương đối của đường tròn (A ; AM) và đường tròn (B ; BN).

Lời giải chi tiết

a) Do $C$ thuộc đường tròn đường kính $AB \Rightarrow \angle ACB = {90^0}$.

$\Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại $C$.

 Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $ABC$ ta có: $C{H^2} = HA.HB$.

Vì $AB \bot CD$ tại $H \Rightarrow H$ là trung điểm của $CD$ (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung)

$\Rightarrow C{D^2} = {\left( {2CH} \right)^2}$$\, = 4C{H^2} = 4HA.HB$ (đpcm).

b) Ta có $\left\{ \begin{array}{l}AM \bot d\\OC \bot d\end{array} \right.$

$\Rightarrow AM//OC \Rightarrow \angle MAC = \angle OCA$ (so le trong).

Lại có $OA = OC = R \Rightarrow \Delta OAC$ cân tại $O \Leftrightarrow \angle OCA = \angle OAC$.

$\Rightarrow \angle MAC = \angle OAC = \angle HAC$.

Xét hai tam giác vuông $\Delta AMC$ và ${\Delta}AHC$ có :

$\begin{array}{l}AC\,\,chung\\\angle MAC = \angle HAC\,\,\left( {cmt} \right)\end{array}$

$\Rightarrow {\Delta _v}AMC = {\Delta _v}AHC$ (cạnh huyền – góc nhọn) $\Rightarrow AM = AH$.

Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được ${\Delta _v}BNC = {\Delta _v}BHC \Rightarrow BN = BH$.

Xét $\left( {A;AM} \right)$ và $\left( {B;BN} \right)$ có $AM + BN = AH + BH = AB$

$\Rightarrow \left( {A;AM} \right)$ và $\left( {B;BN} \right)$ tiếp xúc ngoài tại $H$.

 Sachgiaihay.com