9. Đề số 9 – Đề kiểm tra học kì 1 – Toán 9

Đề bài

Phần I: Trắc nghiệm (2 điểm)

Hãy chọn chữ cái đứng trước câu trả lời đúng cho các câu hỏi sau:

Câu 1 : Điều kiện để biểu thức$A = \dfrac{{2017}}{{\sqrt x  – 1}}$ xác định là:

A.$x > 0$                  

B.$x > 1$

C.$x > 0,x \ne 1$        

D.$x \ge 0,x \ne 1$

Câu 2 (TH): Cho$\sqrt {x – 1}  = 2$, giá trị của $x$ là:

A.$– 3$                                  B.3

C.$– 1$                                  D.5

Câu 3 : Cho biểu thức $P = \sqrt {\dfrac{{5a}}{{32}}} .\sqrt {\dfrac{{2a}}{5}}$ với $a \ge 0$, kết quả thu gọn của $P$ là:

A.$\dfrac{{\sqrt a }}{{16}}$.                         B.$\dfrac{a}{4}$.

C.$\dfrac{a}{{16}}$.                         D.$\dfrac{{\sqrt a }}{4}$.

Câu 4 : Trong các hàm số dưới đây, hàm số bậc nhất có đồ thị đi qua điểm $A\left( {1;4} \right)$là:

A.$y = {x^2} + 3$    B.$y = x – 3$

C.$y = 4x$.                D.$y = 4 – x$.

Câu 5 : Cho 2 đường thẳng $\left( {{d_1}} \right):y = \left( {{m^2} + 1} \right)x + 2$ và $\left( {{d_2}} \right):y = 5x + m$. Hai đường thẳng đó trùng nhau khi:

A.$m =  \pm 2$               B.$m = 2$

C.$m =  – 2$               D.$m \ne  \pm 2$

Câu 6 : Cho tam giác ABC vuông tại A. Trong các hệ thức sau, hệ thức đúng là:

A.$\sin C = \dfrac{{BC}}{{AC}}$ 

B.$\cos C = \dfrac{{BC}}{{AC}}$  

C.$\tan C = \dfrac{{AB}}{{AC}}$ 

D.$\cot C = \dfrac{{AB}}{{AC}}$

Câu 7 : Cho hai điểm phân biệt A, B. Số đường thẳng đi qua hai điểm A, B là:

A.0                              B.1

C.2                              D.Vô số

Câu 8 : Cho hình vẽ, MA và MB là hai tiếp tuyến của đường tròn $\left( {O,3cm} \right)$, $MA = 4cm$. Độ dài đoạn thẳng AB là: A.4,8cm          B.2,4cm C.1,2cm          D.9,6cm

Phần II. Tự luận (8 điểm)

Câu 1: (2 điểm) 

            Cho hai biểu thức $A = \dfrac{{\sqrt x  – 5}}{{\sqrt x }}$ và $B = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  – 5}} – \dfrac{{3\sqrt x }}{{x – 25}}$ với$x > 0,x \ne 25$.

a) Tính giá trị biểu thức $A$ khi$x = 81$.

b) Cho$P = A.B$, chứng minh rằng $P = \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  + 5}}$

c) So sánh $P$ và${P^2}$.

Câu 2: (2 điểm) 

Cho hàm số $y = \left( {m + 2} \right)x + 2{m^2} + 1$ ($m$là tham số)

a)Vẽ đồ thị hàm số trên khi$m =  – 1$. 

b)Tìm $m$để hai đường thẳng $\left( d \right)y = \left( {m + 2} \right)x + 2{m^2} + 1$và $\left( {d’} \right):y = 3x + 3$ cắt nhau tại một điểm trên trục tung.

Câu 3: (3,5 điểm)

            Cho đường tròn $\left( O \right)$ đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn $\left( O \right)$(C khác Avà B) sao cho$AC > BC$. Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với dây cung AC tại H. Tiếp tuyến tại Acủa đường tròn $\left( O \right)$ cắt OHtại D. Đoạn thẳng DB cắt đường tròn $\left( O \right)$ tại E.

a) Chứng minh $HA = HC,\angle DCO = {90^o}$

b) Chứng minh rằng $DH.DO = DE.DB$

c) Trên tia đối của tia EA lấy điểm F sao cho Elà trung điểm cạnh AF. Từ F vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng AD tại K. Đoạn thẳng FK cắt đường thẳng BC tại M. Chứng minh$MK = MF$.

Câu 4: (0,5 điểm) 

Cho các số dương $x,y$ thoả mãn$x + y \le \dfrac{4}{3}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$S = x + y + \dfrac{3}{{4x}} + \dfrac{3}{{4y}}$

LG trắc nghiệm

Lời giải chi tiết:

Phần I:

LG bài 1

Lời giải chi tiết:

Câu 1: Cho hai biểu thức $A = \dfrac{{\sqrt x  – 5}}{{\sqrt x }}$ và $B = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  – 5}} – \dfrac{{3\sqrt x }}{{x – 25}}$ với$x > 0,x \ne 25$.

a)      Tính giá trị biểu thức $A$ khi $x = 81$.

Với$x = 81$ ta có$A = \dfrac{{\sqrt {81}  – 5}}{{\sqrt {81} }} = \dfrac{{9 – 5}}{9} = \dfrac{4}{9}$.

Vậy với $x = 81$ ta có$A = \dfrac{4}{9}$.

b)     Cho $P = A.B$, chứng minh rằng $P = \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  + 5}}$

$\begin{array}{l}B = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  – 5}} – \dfrac{{3\sqrt x }}{{x – 25}}\\\;\;\; = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x  – 5} \right)\left( {\sqrt x  + 5} \right)}} – \dfrac{{3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  – 5} \right)\left( {\sqrt x  + 5} \right)}}\\\;\;\; = \dfrac{{x + 5\sqrt x  – 3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  – 5} \right)\left( {\sqrt x  + 5} \right)}} = \dfrac{{x – 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  – 5} \right)\left( {\sqrt x  + 5} \right)}}.\end{array}$

Xét$P = A.B = \dfrac{{\sqrt x  – 5}}{{\sqrt x }}.\dfrac{{x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  – 5} \right)\left( {\sqrt x  + 5} \right)}}$$\;= \dfrac{{\sqrt x  – 5}}{{\sqrt x }}.\dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 5} \right)\left( {\sqrt x  – 5} \right)}}$$\;= \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  + 5}}$.

Vậy $P = \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  + 5}}$.

c)      So sánh $P$ và ${P^2}$.

Xét hiệu $P – {P^2} = P\left( {1 – P} \right)$.

Nhận thấy: $\left\{ \begin{array}{l}\sqrt x  + 2 > 0\;\forall x > 0\\\sqrt x  + 5 > 0\;\forall x > 0\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  + 5}} > 0\;\forall x > 0 \Rightarrow P > 0\;\forall x > 0$.               (1)

Xét $1 – P = 1 – \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  + 5}} = \dfrac{{\sqrt x  + 5 – \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\sqrt x  + 5}} = \dfrac{3}{{\sqrt x  + 5}}$.

Vì $\sqrt x  + 5 > 0\;\forall x > 0$

$\Rightarrow \dfrac{3}{{\sqrt x  + 5}} > 0\;\forall x > 0 \Rightarrow 1 – P > 0\;\forall x > 0$.                     (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow P\left( {1 – P} \right) > 0\;\forall x > 0 \Rightarrow P – {P^2} > 0\;\forall x > 0 \Rightarrow P > {P^2}\;\forall x > 0$.

Vậy $P > {P^2}$ với mọi x thỏa mãnĐKXĐ.

LG bài 2

Lời giải chi tiết:

Câu 2:

Cho hàm số $y = \left( {m + 2} \right)x + 2{m^2} + 1$ ($m$là tham số)

a)      Vẽ đồ thị hàm số trên khi$m =  – 1$.

Với $m =  – 1$ ta có hàm số có dạng:$y = x + 3$

Chọn$x = 0 \Rightarrow y = 3 \Rightarrow$$A\left( {0;3} \right)$thuộc đồ thị hàm số

Chọn$y = 0 \Rightarrow x + 3 = 0 \Leftrightarrow x =  – 3 \Rightarrow B\left( { – 3;\;0} \right)$ thuộc đồ thị hàm số.

Từ đó ta có đồ thị hàm số:

b)Tìm $m$để hai đường thẳng $\left( d \right)y = \left( {m + 2} \right)x + 2{m^2} + 1$và $\left( {d’} \right):y = 3x + 3$ cắt nhau tại một điểm trên trục tung.

Phương trình của trục tung có dạng $x = 0$. Thay $x = 0$ vào hàm số $\left( {d’} \right):y = 3x + 3$ ta có $y = 3$

Suy ra $A\left( {0;3} \right)$ là giao điểm của$\left( {d’} \right):y = 3x + 3$ và trục tung.

Vì hai đường thẳng $\left( d \right):y = \left( {m + 2} \right)x + 2{m^2} + 1$và $\left( {d’} \right):y = 3x + 3$ cắt nhau tại một điểm trên trục tung nên điểm $A\left( {0;3} \right)$ thuộc đường thẳng  $\left( d \right):y = \left( {m + 2} \right)x + 2{m^2} + 1$

$\Rightarrow 3 = \left( {m + 2} \right).0 + 2{m^2} + 1 \Leftrightarrow {m^2} = 1 \Leftrightarrow m =  \pm 1$.

Với $m = 1 \Rightarrow y = 3x + 3 \Rightarrow$$\left( d \right)$ trùng với $\left( {d’} \right):y = 3x + 3$ (loại vì nếu hai đường thẳng trùng nhau thì không thể cắt nhau tại 1 điểm)

Với $m =  – 1 \Rightarrow y = x + 3$ (thỏa mãn)

Vậy$m =  – 1$ là giá trị cần tìm.

LG bài 3

Lời giải chi tiết:

Câu 3:

            Cho đường tròn $\left( O \right)$ đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn $\left( O \right)$(C khác Avà B) sao cho$AC > BC$. Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với dây cung AC tại H. Tiếp tuyến tại A của đường tròn $\left( O \right)$ cắt OH tại D. Đoạn thẳng DB cắt đường tròn $\left( O \right)$ tại E

a)Chứng minh $HA = HC,\angle DCO = {90^o}$

Xét tam giác AOC có: $AO = CO$(do cùng là bán kính), suy ra tam giác AOC cân tại O

Mà có OH là đường cao ứng với đỉnh O nên OH đồng thời cũng là trung trực của AC

Suy ra $HA = HC$. (đpcm)

Xét tam giác AOC cân tại O có OH là đường cao, suy ra OH đồng thời là đường phân giác

$\Rightarrow \angle AOH = \angle COH$.

Xét tam giác DOC và tam giác DOA có:

+) Chung cạnh OD

+) $AO = CO$(do cùng là bán kính)

+) $\angle AOH = \angle COH$

$\Rightarrow \Delta DOC = \Delta DOA \Rightarrow \angle DCO = \angle DAO = {90^o}$(do AD là tiếp tuyến nên $\angle DAO = {90^o}$)

b)Chứng minh rằng $DH.DO = DE.DB$

Xét tam giác vuông ADO vuông tại A có AHlà đường cao

$\Rightarrow A{D^2} = DH.DO$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông)             (1)

Xét tam giác vuông DABvuông tại A có AElà đường cao ( AE vuông góc với BD do $\angle AEB$là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow A{D^2} = DE.DB$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông)              (2)

Từ (1) và (2) suy ra $DH.DO = DE.DB\;\;\left( { = A{D^2}} \right)$ (đpcm)

c) Trên tia đối của tia EA lấy điểm F sao cho Elà trung điểm cạnh AF. Từ F vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng AD tại K. Đoạn thẳng FKcắt đường thẳng BC tại M. Chứng minh$MK = MF$.

Kéo dài BM cắt AD tại G, GF cắt AB tại L

Xét tam giác ABG có:

$\begin{array}{l}DO//BG\;\left( { \bot AC} \right)\\OA = OB\;\left( { = R} \right)\end{array}$

$\Rightarrow AD = DG$  (tính chất đường trung bình)

Xét tam giác GFA có:

+) D là trung điểm củaAG (do$AD = DG$)

+)E là trung điểm của AF (giả thiết)

$\Rightarrow$DE song song với GF(tính chất đường trung bình)

Xét tam giác GAL có:

+) D là trung điểm AG (do $AD = DG$)

+) DB song song với GL (do DE song song với GF)

Suy ra B là trung điểm của AL (tính chất đường trung bình), suy ra$AB = \dfrac{1}{2}AL$

Xét tam giác GKM có KM song song với AB (do cùng vuông góc với AG)

$\Rightarrow \dfrac{{KM}}{{AB}} = \dfrac{{KG}}{{AG}}$ (định lí Ta-lét)                   (3)

Xét tam giác GAL có KF song song với AL (do cùng vuông góc với AG)

$\Rightarrow \dfrac{{KF}}{{AL}} = \dfrac{{GK}}{{AG}}$ (định lí Ta-lét)                                (4)

Từ (3) và (4) $\Rightarrow \dfrac{{KM}}{{AB}} = \dfrac{{KF}}{{AL}}$. Mà có $AB = \dfrac{1}{2}AL$ (cmt)

$\Rightarrow KM = \dfrac{1}{2}KF \Rightarrow MF = KF – KM = KF – \dfrac{1}{2}KF = \dfrac{1}{2}KF \Rightarrow KF = KM$(đpcm).

LG bài 4

Lời giải chi tiết:

Cho các số dương $x,y$ thoả mãn$x + y \le \dfrac{4}{3}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức$S = x + y + \dfrac{3}{{4x}} + \dfrac{3}{{4y}}$

Ta có: $S = \left( {x + \dfrac{4}{{9x}}} \right) + \left( {y + \dfrac{4}{{9y}}} \right) + \dfrac{{11}}{{36}}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right)$.

Áp dụng bất đẳng thức Co-si có:

$\begin{array}{l} + )\;x + \dfrac{4}{{9x}} \ge 2\sqrt {x.\dfrac{4}{{9x}}}  = 2.\sqrt {\dfrac{4}{9}}  = \dfrac{4}{3}\\ + )\;y + \dfrac{4}{{9y}} \ge 2\sqrt {y.\dfrac{4}{{9y}}}  = 2\sqrt {\dfrac{4}{9}}  = \dfrac{4}{3}\end{array}$

Chứng minh bất đẳng thức phụ:

$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{{x + y}} \Leftrightarrow \dfrac{{x + y}}{{xy}} \ge \dfrac{4}{{x + y}} \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy \Leftrightarrow {\left( {x – y} \right)^2} \ge 0$(luôn đúng)

Áp dụng bất đẳng thức phụ trên có: $\dfrac{{11}}{{36}}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right) \ge \dfrac{{11}}{{36}}.\dfrac{4}{{x + y}}$

Mà có $x + y \le \dfrac{4}{3} \Rightarrow \dfrac{{11}}{{36}}.\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right) \ge \dfrac{{11}}{{36}}.\dfrac{4}{{x + y}} \ge \dfrac{{11}}{{36}}.\dfrac{4}{{\dfrac{4}{3}}} = \dfrac{{11}}{{12}}$.

$\Rightarrow S = \left( {x + \dfrac{4}{{9x}}} \right) + \left( {y + \dfrac{4}{{9y}}} \right) + \dfrac{{11}}{{36}}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right) \ge \dfrac{4}{3} + \dfrac{4}{3} + \dfrac{{11}}{{12}} = \dfrac{{43}}{{12}}$.

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{4}{{9x}}\\y = \dfrac{4}{{9y}}\\x + y = \dfrac{4}{3}\\x = y\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = \dfrac{2}{3}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là $\dfrac{{43}}{{12}}$ khi$x = y = \dfrac{2}{3}$.