17. Đề số 17 – Đề kiểm tra học kì 1 – Toán 9

Đề bài

I. TRẮC NGHIỆM (1 điểm)Trả lời câu hỏi bằng cách viết lại chữ cái trước đáp án đúng vào bài làm:

Câu 1 : Nếu x thỏa mãn điều kiện $\sqrt {3 + \sqrt x }  = 2$ thì x nhận giá trị là:

A. 0                             B. 4

C. 5                             D. 1

Câu 2 : Điều kiện để hàm số bậc nhất $y = \left( {1 – m} \right)x + m\,\,\left( {m \ne 1} \right)$là hàm số nghịch biến là:

A. $m > 1$                 B. $m \ge 1$

C. $m \le 1$                D. $m < 1$

Câu 3 : Cho tam giác MNP vuông tại M, đường cao MH. Chọn hệ thức sai:

A. $M{H^2} = HN.HP$       

B. $M{P^2} = NH.HP$

C. $MH.NP = MN.MP$

D. $\dfrac{1}{{M{N^2}}} + \dfrac{1}{{M{P^2}}} = \dfrac{1}{{M{H^2}}}$

Câu 4 : Cho hai đường tròn $\left( {I;7cm} \right)$và $\left( {K;5cm} \right)$. Biết $IK = 2cm$. Quan hệ giữa hai đường tròn là:

A. Tiếp xúc trong                   

B. Tiếp xúc ngoài

C. Cắt nhau                            

D. Đựng nhau

II. TỰ LUẬN (9 điểm)

Câu 1 (1 điểm):Thực hiện phép tính:             a) $3\sqrt {\dfrac{1}{3}}  + 4\sqrt {12}  – 5\sqrt {27}$                  b) $\dfrac{{3 + 2\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} – \dfrac{2}{{\sqrt 3  – 1}}$

Câu 2 (2 điểm): Cho biểu thức $P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  – 2}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} – \dfrac{{x – 2\sqrt x }}{{x – 4}}$  và $Q = \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  – 2}}\,\,\left( {x \ge 0;x \ne 4} \right)$

a) Rút gọn P

b) Tìm x sao cho $P = 2$

c) Biết $M = P:Q$. Tìm giá trị của x để ${M^2} < \dfrac{1}{4}$

Câu 3 (2 điểm):Cho hàm số $y = \left( {m – 4} \right)x + 4$ có đồ thị là đường thẳng $\left( d \right)$$\left( {m \ne 4} \right)$.

a) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua $A\left( {1;6} \right)$

b) Vẽ đồ thị hàm số với m tìm được ở câu a. Tính góc tạo bởi đồ thị hàm số vừa vẽ với trục Ox (làm tròn đến phút).

c) Tìm m để đường thẳng $\left( d \right)$ song song với đường thẳng$\left( {{d_1}} \right):y = \left( {m – {m^2}} \right)x + m + 2$

Câu 4 (3,5 điểm):Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ tiếp tuyến AE đến đường tròn $\left( O \right)$ (với E là tiếp điểm). Vẽ dây EH vuông góc với AO tại M.

a) Cho biết bán kính $R = 5cm,\,\,OM = 3cm$. Tính độ dài dây EH.

b) Chứng minh AH là tiếp tuyến của đường tròn$\left( O \right)$.

c) Đường thẳng qua O vuông góc với OA cắt AH tại B. Vẽ tiếp tuyến BF với đường tròn $\left( O \right)$ (F là tiếp điểm). Chứng minh 3 điểm E, O, F thẳng hàng và $BF.AE = {R^2}$.

d) Trên tia HB lấy điểm I ($I \ne B$), qua I vẽ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn $\left( O \right)$ cắt các đường thẳng BF, AE lần lượt tại C và D. Vẽ đường thẳng IF cắtAE tại Q. Chứng minh $AE = DQ$.

Câu 5 (0,5 điểm):Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn $x + y \le 1$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right).\sqrt {1 + {x^2}{y^2}}$.

LG trắc nghiệm

Lời giải chi tiết:

I. TRẮC NGHIỆM

LG bài 1

Lời giải chi tiết:

a) $3\sqrt {\dfrac{1}{3}}  + 4\sqrt {12}  – 5\sqrt {27}  = \sqrt 3  + 8\sqrt 3  – 15\sqrt 3  =  – 6\sqrt 3$

b) $\dfrac{{3 + 2\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} – \dfrac{2}{{\sqrt 3  – 1}} = \dfrac{{\left( {\sqrt 3  + 2} \right)\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} – \dfrac{{2\left( {\sqrt 3  + 1} \right)}}{{3 – 1}} = \sqrt 3  + 2 – \sqrt 3  – 1 = 1$

LG bài 2

Lời giải chi tiết:

Cho biểu thức $P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  – 2}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} – \dfrac{{x – 2\sqrt x }}{{x – 4}}$  và $Q = \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  – 2}}\,\,\left( {x \ge 0;x \ne 4} \right)$

a) Rút gọn P

$\begin{array}{l}P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  – 2}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} – \dfrac{{x – 2\sqrt x }}{{x – 4}}\\\;\;\; = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  – 2}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} – \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  – 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  – 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\\\;\; = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  – 2}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} – \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  – 2}}\end{array}$

b) Tìm x sao cho $P = 2$

$P = 2 \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  – 2}} = 2$

$\Leftrightarrow \sqrt x  = 2\sqrt x  – 4$

$\Leftrightarrow \sqrt x  = 4 \Leftrightarrow x = 16$

c) Biết $M = P:Q$. Tìm giá trị của x để ${M^2} < \dfrac{1}{4}$

$M = P:Q = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  – 2}}.\dfrac{{\sqrt x  – 2}}{{\sqrt x  + 2}} = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}$

${M^2} < \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}} \right)^2} < \dfrac{1}{4}$

$\Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} < \dfrac{1}{2}$

$\Leftrightarrow 2\sqrt x  < \sqrt x  + 2 \Leftrightarrow \sqrt x  < 2 \Leftrightarrow x < 4$

Kết hợp điều kiện đầu bài $\Rightarrow 0 \le x < 4$

LG bài 3

Lời giải chi tiết:

Cho hàm số $y = \left( {m – 4} \right)x + 4$ có đồ thị là đường thẳng $\left( d \right)$$\left( {m \ne 4} \right)$.

a) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua $A\left( {1;6} \right)$

$A\left( {1;\;6} \right)$ thuộc đường thẳng $\left( d \right).$ Ta thay $x = 1;\,\,y = 6$ vào hàm số $y = \left( {m – 4} \right)x + 4$ ta được $6 = \left( {m – 4} \right).1 + 4 \Leftrightarrow m = 6\;\;\left( {tm} \right)$

Vậy với$m = 6$ thì đồ thị hàm số đi qua $A\left( {1;6} \right)$

b) Vẽ đồ thị hàm số với m tìm được ở câu a. Tính góc tạo bởi đồ thị hàm số vừa vẽ với trục Ox (làm tròn đến phút).

Với $m = 6$ thì $y = 2x + 4$

Ta có bảng giá trị:

Đường thẳng $y = 2x + 4$ đi qua hai điểm $\left( {0;4} \right)$ và $\left( { – 2;0} \right)$

Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi đồ thị hàm số vừa vẽ với trụcOx $\Rightarrow \tan \alpha  = 2 \Rightarrow \alpha  \approx {63^o}{26′}$

c) Tìm m để đường thẳng $\left( d \right)$ song song với đường thẳng $\left( {{d_1}} \right):y = \left( {m – {m^2}} \right)x + m + 2$

$\left( d \right)//\left( {{d_1}} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m – {m^2} = m – 4\\m + 2 \ne 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} = 4\\m \ne 2\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 2\\m =  – 2\end{array} \right.\\m \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m =  – 2\;\;\left( {tm} \right)$

Vậy với $m =  – 2$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

LG bài 4

Lời giải chi tiết:

Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ tiếp tuyến AE đến đường tròn $\left( O \right)$ (với E là tiếp điểm). Vẽ dây EH vuông góc với AO tại M.

a) Cho biết bán kính $R = 5cm,\,\,OM = 3cm$. Tính độ dài dây EH.

Theo đề bài ta có: $EH \bot OA$ tại M nên M là trung điểm của EH hay $EH = 2EM$(định lý mối liên hệ giwuax đường kính và dây cung)

Áp dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác vuông OME có:

$EM = \sqrt {O{E^2} – O{M^2}}  = \sqrt {{5^2} – {3^2}}  = 4$

Vậy $EH = 2EM = 8\,\,(cm)$

 b) Chứng minh AH là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}OA \bot EH\\ME = MH\end{array} \right. \Rightarrow$OA là đường trung trực của EH$\Rightarrow AE = AH$

Xét hai tam giác OEA và tam giác OHA có:

$OE = OH\,\,( = R);\,\,\,AE = AH;\,\,OA$chung

$\Rightarrow \Delta OEA = \Delta OHA$(c.c.c) $\Rightarrow \angle OHA = \angle OEA = {90^o}$ hay $AH \bot OH$

Vậy AH là tiếp tuyến của $\left( O \right)$ (đpcm).

c) Đường thẳng qua O vuông góc với OA cắt AH tại B. Vẽ tiếp tuyến BF với đường tròn $\left( O \right)$ (F là tiếp điểm). Chứng minh 3 điểm E, O, F thẳng hàng và $BF.AE = {R^2}$.

Có $AH \bot OH\;\;\left( {cmt} \right)$ hay Blà giao của hai tiếp tuyến BH; BF

$\Rightarrow \angle BOF = \angle BOH$, lại có $\angle EOA = \angle HOA$

$\Rightarrow \angle EOA + \angle AOB + \angle BOF = 2\left( {\angle AOH + \angle BOH} \right) = 2\angle AOB = {180^o}$

$\Rightarrow$E, O, F thẳng hàng. (đpcm)

Có $\angle EOA + \angle BOF = {180^o} – \angle AOB = {90^o} \Rightarrow \angle OAE = \angle BOF$ (cùng phụ $\angle AOE$)

Xét $\Delta AOE$ và $\Delta OBF$có: $\angle OAE = \angle BOF$;  $\angle AEO = \angle BFO = {90^o}$

$\Rightarrow \dfrac{{AE}}{{OF}} = \dfrac{{OE}}{{BF}} \Rightarrow AE.BF = OE.OF = {R^2}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

d) Trên tia HB lấy điểm I ($I \ne B$), qua I vẽ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn $\left( O \right)$ cắt các đường thẳng BF, AE lần lượt tại C và D. Vẽ đường thẳng IF cắt AE tại Q. Chứng minh $AE = DQ$.

Có $BF//AQ$  (do cùng vuông góc với EF) $\Rightarrow \dfrac{{BF}}{{CF}} = \dfrac{{AQ}}{{DQ}}$(định lý Talet)   (*)

Dễ dàng chứng minh $\Delta COD$ vuông tại O. Gọi K là tiếp điểm của tiếp tuyến thứ 2 qua I với $\left( O \right)$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông COD đường cao DK ta có: $O{K^2} = DK.CK$

Mà DE, DK là các tiếp tuyến của $\left( O \right)$cắt nhau tại D nên $DE = DK$

Tương tự $CK = CF \Rightarrow O{K^2} = CF.DE \Leftrightarrow CF.DE = {R^2}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$và $\left( 2 \right)$ suy ra: $CF.DE = AE.BF \Leftrightarrow \dfrac{{BF}}{{CF}} = \dfrac{{DE}}{{AE}}$     (**)

Từ (*) và (**) suy ra: $\dfrac{{AQ}}{{DQ}} = \dfrac{{DE}}{{AE}} \Leftrightarrow \dfrac{{AQ}}{{AQ – DQ}} = \dfrac{{DE}}{{DE – AE}} \Leftrightarrow \dfrac{{AQ}}{{AD}} = \dfrac{{DE}}{{AD}} \Leftrightarrow AQ = DE$

Câu 5:

Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn $x + y \le 1$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right).\sqrt {1 + {x^2}{y^2}}$.

Có x, y là các số thực dương $\Rightarrow \dfrac{1}{x};\dfrac{1}{y}$ là các số thực dương

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được : $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge 2\sqrt {\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{y}}  = \dfrac{2}{{\sqrt {xy} }}$

Vậy $P \ge \dfrac{2}{{\sqrt {xy} }}.\sqrt {1 + {x^2}{y^2}}  = 2\sqrt {\dfrac{1}{{xy}} + xy}$

Ta có : $1 \ge x + y \ge 2\sqrt {xy}$(do x, y là hai số thực dương)$\Rightarrow xy \le \dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{{xy}} + xy = \dfrac{1}{{16xy}} + xy + \dfrac{{15}}{{16}}.\dfrac{1}{{xy}} \ge 2\sqrt {\dfrac{1}{{16xy}}.xy}  + \dfrac{{15}}{{16}}\dfrac{1}{{\dfrac{1}{4}}} = 2.\dfrac{1}{4} + \dfrac{{15}}{4} = \dfrac{{17}}{4}$

$\Rightarrow P \ge 2\sqrt {\dfrac{{17}}{4}}  = \sqrt {17}$. Dấu ‘=’ xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\x + y = 1\\xy = \dfrac{1}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = \dfrac{1}{2}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là $\sqrt {17}$ đạt được khi $x = y = \dfrac{1}{2}.$

Xem thêm: Lời giải chi tiết Đề kiểm tra học kì 1 (Đề thi học kì 1) môn Toán 9 tại Tuyensinh247.com

 Sachgiaihay.com