10. Đề số 10 – Đề kiểm tra học kì 1 – Toán 9

Đáp án và lời giải chi tiết Đề số 10 – Đề kiểm tra học kì 1 (Đề thi học kì 1) – Toán 9

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Đề bài

Câu 1 (2,0 điểm): Hãy tính giá trị của:

a) M = \left( {2\sqrt {300}  + 3\sqrt {48}  – 4\sqrt {75} } \right):\sqrt 3 ;

b) N = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3  – 2} \right)}^2}}  + \sqrt {4 – 2\sqrt 3 } ;

c) P = \dfrac{2}{{\sqrt 3  + 1}} – \dfrac{1}{{\sqrt 3  – 2}} + \dfrac{{12}}{{\sqrt 3  + 3}} ;

Câu 2 (2,0 điểm): Cho các biểu thức:

A = 1 – \dfrac{{\sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}  và  B = \dfrac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  – 2}} + \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{3 – \sqrt x }} + \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{x – 5\sqrt x  + 6}}  với x \ge 0,\,\,x \ne 4,\,\,x \ne 9.

a) Hãy tính giá trị của A khi x = 16.

b) Rút gọn B.

c) Xét biểu thức T = \dfrac{A}{B} . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của T.

Câu 3 (2,0 điểm): Cho hàm số y = \left( {2 – m} \right)x + m + 1 (với m là tham số và m \ne 2) có đồ thị là đường thẳng \left( d \right).

a) Khi m = 0, hãy vẽ \left( d \right) trên hệ trục tọa độ Oxy.

b) Tìm m để \left( d \right) cắt đường thẳng y = 2x – 5 tại điểm có hoành độ bằng 2.

c) Tìm m để \left( d \right) cùng với các trục tọa độ Ox,\,\,Oy tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2.

Câu 4 (3,5 điểm): Cho đường tròn \left( {O;R} \right) và điểm A nằm ngoài \left( O \right). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với \left( O \right) (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC.

a) Chứng minh bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh OA là đường trung trực của BC.

c) Lấy D đối xứng với B qua O. Gọi là giao điểm của đoạn thẳng AD với \left( O \right) (E không trùng với D). Chứng minh \dfrac{{DE}}{{BE}} = \dfrac{{BD}}{{BA}}.

d) Tính số đo góc HEC.

Câu 5 (0,5 điểm): Cho x > 0,\,\,y > 0 thỏa mãn xy = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Q = \dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{y} + \dfrac{6}{{3x + 2y}} .

LG bài 1

Lời giải chi tiết:

a) M = \left( {2\sqrt {300}  + 3\sqrt {48}  – 4\sqrt {75} } \right):\sqrt 3

\begin{array}{l}M = \left( {2\sqrt {300}  + 3\sqrt {48}  – 4\sqrt {75} } \right):\sqrt 3  = \left( {2.10\sqrt 3  + 3.4\sqrt 3  – 4.5\sqrt 3 } \right):\sqrt 3 \\\,\,\,\,\,\,\, = \left( {20\sqrt 3  + 12\sqrt 3  – 20\sqrt 3 } \right):\sqrt 3  = 12\sqrt 3 :\sqrt 3  = 12\end{array}

b) N = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3  – 2} \right)}^2}}  + \sqrt {4 – 2\sqrt 3 } ;

\begin{array}{l}N = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3  – 2} \right)}^2}}  + \sqrt {4 – 2\sqrt 3 }  \\\;\;\;= \left| {\sqrt 3  – 2} \right| + \sqrt {{{\left( {\sqrt 3  – 1} \right)}^2}}  = 2 – \sqrt 3  + \left| {\sqrt 3  – 1} \right|\\\,\,\,\,\,\, = 2 – \sqrt 3  + \sqrt 3  – 1 = 1\end{array}

c) P = \dfrac{2}{{\sqrt 3  + 1}} – \dfrac{1}{{\sqrt 3  – 2}} + \dfrac{{12}}{{\sqrt 3  + 3}} ;

\begin{array}{l}P = \dfrac{2}{{\sqrt 3  + 1}} – \dfrac{1}{{\sqrt 3  – 2}} + \dfrac{{12}}{{\sqrt 3  + 3}}\\ = \dfrac{{2\left( {\sqrt 3  – 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 3  + 1} \right)\left( {\sqrt 3  – 1} \right)}} – \dfrac{{1\left( {\sqrt 3  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt 3  – 2} \right)\left( {\sqrt 3  + 2} \right)}} + \dfrac{{12\left( {3 – \sqrt 3 } \right)}}{{\left( {3 + \sqrt 3 } \right)\left( {3 – \sqrt 3 } \right)}}\\= \dfrac{{2\left( {\sqrt 3  – 1} \right)}}{2} – \dfrac{{\sqrt 3  + 2}}{{ – 1}} + \dfrac{{12\left( {3 – \sqrt 3 } \right)}}{6}\\ = \sqrt 3  – 1 + \sqrt 3  + 2 + 2\left( {3 – \sqrt 3 } \right) = 7\end{array}

LG bài 2

Lời giải chi tiết:

Câu 2: Cho các biểu thức:

A = 1 – \dfrac{{\sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}  và  B = \dfrac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  – 2}} + \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{3 – \sqrt x }} + \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{x – 5\sqrt x  + 6}}  với x \ge 0,\,\,x \ne 4,\,\,x \ne 9.

a) Hãy tính giá trị của A khi x = 16.

Tại x = 16thì A = 1 – \dfrac{{\sqrt {16} }}{{1 + \sqrt {16} }} = 1 – \dfrac{4}{{1 + 4}} = 1 – \dfrac{4}{5} = \dfrac{1}{5}

b) Rút gọn B.

\begin{array}{l}B = \dfrac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  – 2}} + \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{3 – \sqrt x }} + \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{x – 5\sqrt x  + 6}}\\\;\;\; = \dfrac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  – 2}} – \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  – 3}} + \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{\left( {\sqrt x  – 2} \right)\left( {\sqrt x  – 3} \right)}}\\\;\;\; = \dfrac{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  – 3} \right) – \left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  – 2} \right) + \sqrt x  + 2}}{{\left( {\sqrt x  – 2} \right)\left( {\sqrt x  – 3} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{x – 9 – x + 4 + \sqrt x  + 2}}{{\left( {\sqrt x  – 2} \right)\left( {\sqrt x  – 3} \right)}} = \dfrac{{\sqrt x  – 3}}{{\left( {\sqrt x  – 2} \right)\left( {\sqrt x  – 3} \right)}} = \dfrac{1}{{\sqrt x  – 2}}\end{array}

c) Xét biểu thức T = \dfrac{A}{B} . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của T.

A = 1 – \dfrac{{\sqrt x }}{{1 + \sqrt x }} = \dfrac{{1 + \sqrt x  – \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }} = \dfrac{1}{{1 + \sqrt x }}

T = \dfrac{A}{B} = \dfrac{1}{{1 + \sqrt x }}:\dfrac{1}{{\sqrt x  – 2}} = \dfrac{{\sqrt x  – 2}}{{1 + \sqrt x }} = \dfrac{{\sqrt x  + 1 – 3}}{{1 + \sqrt x }} = 1 – \dfrac{3}{{1 + \sqrt x }}

Do x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x  \ge 0 \Rightarrow \dfrac{3}{{1 + \sqrt x }} \le \dfrac{3}{1} = 3 \Rightarrow T = 1 – \dfrac{3}{{1 + \sqrt x }} \ge 1 – 3 =  – 2

Dấu bằng xảy ra khi x = 0

Vậy Min\;T =  – 2 khi x = 0.

LG bài 3

Lời giải chi tiết:

Câu 3: Cho hàm số y = \left( {2 – m} \right)x + m + 1 (với m là tham số và m \ne 2) có đồ thị là đường thẳng \left( d \right).

 

a) Khi m = 0, hãy vẽ \left( d \right) trên hệ trục tọa độ Oxy.

Khim = 0 thì \left( d \right):\;\;y = 2x + 1

Đồ thị của đường thẳng \left( d \right) đi qua 2 điểm \left( {0;1} \right),\,\,\,\left( {1;3} \right).

b) Tìm m để \left( d \right) cắt đường thẳng y = 2x – 5 tại điểm có hoành độ bằng 2.

Phương trình hoành độ giao điểm của \left( d \right) và đường thẳng y = 2x – 5

\left( {2 – m} \right)x + m + 1 = 2x – 5 \Leftrightarrow mx = m + 6\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)

Để \left( d \right) cắt đường thẳng y = 2x – 5 tại điểm có hoành độ bằng 2 thì x = 2  là nghiệm của phương trình \left( 1 \right) hay 2m = m + 6 \Leftrightarrow m = 6.

Vậy với m = 6 thỏa mãn yêu cầu đề bài.

c) Tìm m để \left( d \right) cùng với các trục tọa độ Ox,\,\,Oy tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2.

Gọi A và B là giao điểm của \left( d \right) lần lượt với hai trục tọa độ Ox, Oy.

Tọa độ điểm A thỏa mãn \left\{ \begin{array}{l}y = \left( {2 – m} \right)x + m + 1\\y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{{m + 1}}{{m – 2}}

\Rightarrow A\left( {\dfrac{{m + 1}}{{m – 2}};0} \right) \Rightarrow OA = \left| {\dfrac{{m + 1}}{{m – 2}}} \right|

Tọa độ điểm B thỏa mãn \left\{ \begin{array}{l}y = \left( {2 – m} \right)x + m + 1\\x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow y = m + 1

\Rightarrow B\left( {0;m + 1} \right) \Rightarrow OB = \left| {m + 1} \right|

{S_{\Delta OAB}} = 2 \Leftrightarrow \dfrac{{OA.OB}}{2} = 2

\Leftrightarrow \left| {\dfrac{{m + 1}}{{m – 2}}} \right|.\left| {m + 1} \right| = 4

\Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} = 4\left| {m – 2} \right|

Trường hợp 1: m > 2 \Rightarrow pt \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} = 4\left( {m – 2} \right) \Leftrightarrow {m^2} – 2m + 9 = 0 vô nghiệm.

Trường hợp 2: m < 2 \Rightarrow pt \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} =  – 4\left( {m – 2} \right) \Leftrightarrow {m^2} + 6m – 7 = 0

\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\;\;\;\left( {tm} \right)\\m =  – 7\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right.

Vậy với m = 1 hoặc m =  – 7 thỏa mãn yêu cầu đề bài.

LG bài 4

Lời giải chi tiết:

Câu 4: Cho đường tròn \left( {O;R} \right) và điểm A nằm ngoài \left( O \right). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với \left( O \right) (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC.

a) Chứng minh bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.

Ta có AB, AC là hai tiếp tuyến của \left( O \right) \Rightarrow \angle OBA = \angle OCA = {90^o}

\Rightarrow B, C cùng thuộc đường tròn đường kính OA

\Rightarrow  A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn đường kính OA. (đpcm)

b) Chứng minh OA là đường trung trực của BC.

Ta có AB, AC là hai tiếp tuyến của \left( O \right) cắt nhau tại A

\Rightarrow AB = AC và AO là phân giác \angle BAC  (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

\Rightarrow \Delta ABC là tam giác cân tại A

\Rightarrow AO vừa là phân giác \angle BAC  vừa là đường trung trực của BC (tính chất tam giác cân)

c) Lấy D đối xứng với B qua O. Gọi là giao điểm của đoạn thẳng AD với \left( O \right) (E không trùng với D). Chứng minh \dfrac{{DE}}{{BE}} = \dfrac{{BD}}{{BA}}.

Ta có D đối xứng với B qua O \Rightarrow BD là đường kính của \left( O \right)

\Rightarrow \angle BED = {90^o} (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét \Delta BED\Delta ABD có: \angle BED = \angle ABD = {90^o}, \angle D chung

d) Tính số đo góc HEC.

\angle BCD = {90^o} (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\angle AHB = {90^o} (AO là trung trực của BC)

Xét \Delta BCD\Delta AHB có: \angle BCD = \angle AHB = {90^o},\;\angle BDC = \angle ABH(BA là tiếp tuyến của \left( O \right) tại B)

   kết hợp c) \Rightarrow \dfrac{{DE}}{{BE}} = \dfrac{{CD}}{{BH}}

Xét \Delta BHE\Delta DCE có     (2 góc t.ư)

\Rightarrow \angle BEH + \angle HED = \angle DEC + \angle HED \Rightarrow \angle BED = \angle HEC

\angle BED = {90^o} (chứng minh trên)

Vậy \angle HEC = {90^o}

LG bài 5

Lời giải chi tiết:

Cho x > 0,\,\,y > 0 thỏa mãn xy = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Q = \dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{y} + \dfrac{6}{{3x + 2y}} .

Q = \dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{y} + \dfrac{6}{{3x + 2y}} = \dfrac{{2y + 3x}}{{xy}} + \dfrac{6}{{3x + 2y}} = \dfrac{{3x + 2y}}{6} + \dfrac{6}{{3x + 2y}}

Đặt t = 3x + 2y \Rightarrow t \ge 2\sqrt {3x.2y}  \Leftrightarrow t \ge 2\sqrt {6.6}  = 12

Theo bất đẳng thức AM-GM và vì t \ge 12 nên ta có:

Q = \dfrac{t}{6} + \dfrac{6}{t} = \left( {\dfrac{t}{6} + \dfrac{{24}}{t}} \right) – \dfrac{{18}}{t} \ge 2\sqrt {\dfrac{t}{6}.\dfrac{{24}}{t}}  – \dfrac{{18}}{{12}} = \dfrac{5}{2}

Dấu “=” xảy ra khi \left\{ \begin{array}{l}3x = 2y\\xy = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2y}}{3}\\\dfrac{{2{y^2}}}{3} = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2y}}{3}\\{y^2} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\;\;\left( {do\;\;y > 0} \right)\end{array} \right.

Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là \dfrac{5}{2} đạt được khi \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\end{array} \right..

Xem thêm: Lời giải chi tiết Đề kiểm tra học kì 1 (Đề thi học kì 1) môn Toán 9 tại Tuyensinh247.com

Sachgiaihay.com

TẢI APP ĐỂ XEM OFFLINE

Đề ôn tập học kì 1 – Có đáp án và lời giải