Bài 23 trang 90 SGK Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng \(4x + 3y – 12z + 1 = 0\) và tiếp xúc với mặt cầu có phương trình: \({x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x – 4y – 6z – 2 = 0\)

Lời giải chi tiết

Ta có \({x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x – 4y – 6z – 2 = 0 \)

\(\Leftrightarrow {\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 16\)
Mặt cầu có tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\) bán kính R = 4.
Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng đã cho nên có phương trình \(4x + 3y – 12z + D = 0\) với \(D \ne 1\).
Mp(P) tiếp xúc với mặt cầu khi và chỉ khi khoảng cách d từ điểm I đến mp(P) bằng bán kính R.

\(d = {{\left| {4 + 6 – 36 + D} \right|} \over {\sqrt {16 + 9 + 144} }} = 4 \Leftrightarrow {{\left| { – 26 + D} \right|} \over {13}} = 4 \) \(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
– 26 + D = 52 \hfill \cr 
– 26 + D = – 52 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
D = 78 \hfill \cr 
D = – 26 \hfill \cr} \right.\)

Vậy có hai mặt phẳng thỏa yêu cầu là: \(4x + 3y – 12z + 78 = 0\)

\(4x + 3y – 12z – 26 = 0\)

Sachgiaihay.com