Bài 19 trang 90 SGK Hình học 12 Nâng cao

LG a

\(\left( \alpha \right):2x – y + 4z + 5 = 0,\,\,\left( {\alpha ‘} \right):3x + 5y – z – 1 = 0\)

Phương pháp giải:

– Gọi điểm M(x;y;z).

– Điểm M cách đều hai mp \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( {\alpha ‘} \right)\)

\( \Leftrightarrow d\left( {M,\left( \alpha  \right)} \right) = d\left( {M,\left( {\alpha ‘} \right)} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Điểm \(M\left( {x,y,z} \right)\) cách đều hai mặt phẳng đã cho khi và chỉ khi:

\(\eqalign{
& {{\left| {2x – y + 4z + 5} \right|} \over {\sqrt {4 + 1 + 16} }} = {{\left| {3x + 5y – z – 1} \right|} \over {\sqrt {9 + 25 + 1} }} \cr 
& \Leftrightarrow \sqrt 5 \left| {2x – y + 4z + 5} \right| = \sqrt 3 \left| {3x + 5y – z – 1} \right| \cr 
& \Leftrightarrow \sqrt 5 \left( {2x – y + 4z + 5} \right) = \pm \sqrt 3 \left( {3x + 5y – z – 1} \right) \cr} \)

Vậy tập hợp các điểm M là hai mặt phẳng:

\(\eqalign{
& \left( {2\sqrt 5 – 3\sqrt 3 } \right)x – \left( {\sqrt 5 + 5\sqrt 3 } \right)y + \left( {4\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)z + 5\sqrt 5 + \sqrt 3 = 0 \cr 
& \left( {2\sqrt 5 + 3\sqrt 3 } \right)x – \left( {\sqrt 5 – 5\sqrt 3 } \right)y + \left( {4\sqrt 5 – \sqrt 3 } \right)z + 5\sqrt 5 – \sqrt 3 = 0 \cr} \)

LG b

\(\left( \alpha \right):2x + y – 2z – 1 = 0,\,\,\left( {\alpha ‘} \right):6x – 3y + 2z – 2 = 0 \)

Lời giải chi tiết:

Điểm \(M\left( {x,y,z} \right)\) cách đều hai mặt phẳng đã cho khi và chỉ khi:

\(\eqalign{
& {{\left| {2x + y – 2z – 1} \right|} \over {\sqrt {4 + 1 + 4} }} = {{\left| {6x – 3y + 2z – 2} \right|} \over {\sqrt {36 + 9 + 4} }} \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
7\left( {2x + y – 2z – 1} \right) = 3\left( {6x – 3y + 2z – 2} \right) \hfill \cr 
7\left( {2x + y – 2z – 1} \right) = – 3\left( {6x – 3y + 2z – 2} \right) \hfill \cr} \right. \cr &\Leftrightarrow \left[ \matrix{
– 4x + 16y – 20z – 1 = 0 \hfill \cr 
32x – 2y – 8z – 13 = 0 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Tập hợp các điểm M là hai mặt phẳng có phương trình:

\( – 4x + 16y – 20z – 1 = 0\,\,;\,\,32x – 2y – 8z – 13 = 0\).

LG c

\(\left( \alpha \right):x + 2y + z – 1 = 0,\,\,\left( {\alpha ‘} \right):x + 2y + z + 5 = 0\)

Lời giải chi tiết:

Điểm \(M\left( {x,y,z} \right)\) cách đều hai mặt phẳng đã cho khi và chỉ khi:

\(\eqalign{
& {{\left| {x + 2y + z – 1} \right|} \over {\sqrt {1 + 4 + 1} }} = {{\left| {x + 2y + z + 5} \right|} \over {\sqrt {1 + 4 + 1} }} \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x + 2y + z – 1 = x + 2y + z + 5 \hfill \cr 
x + 2y + z – 1 = – x – 2y – z – 5 \hfill \cr} \right. \cr &\Leftrightarrow 2x + 4y + 2z + 4 = 0 \cr} \)

Tập hợp các điểm M là một mặt phẳng có phương trình : \(x + 2y + z + 2 = 0\).

Sachgiaihay.com