Giải bài 4.18 trang 65 SGK Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A(1; 3), B(2; 4), C(-3; 2).

a) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.

b) Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB.

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

d) Tìm điểm D(x; y) để O(0; 0) là trọng tâm của tam giác ABD.

Lời giải chi tiết

a)

Ta có: $\overrightarrow {AB}  = \left( {2 – 1;4 – 3} \right) = \left( {1;1} \right),\;\overrightarrow {AC}  = \left( { – 3 – 1;2 – 3} \right) = \left( { – 4; – 1} \right)$

Hai vectơ này không cùng phương (vì $\frac{1}{{ – 4}} \ne \frac{1}{{ – 1}}$).

Do đó các điểm A, B, C không cùng nằm trên một đường thẳng.

Vậy A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.

b) Trung điểm M của đoạn thẳng AB có tọa độ là $\left( {\frac{{1 + 2}}{2};\frac{{3 + 4}}{2}} \right) = \left( {\frac{3}{2};\frac{7}{2}} \right)$

c) Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là $\left( {\frac{{1 + 2 + \left( { – 3} \right)}}{3};\frac{{3 + 4 + 2}}{3}} \right) = \left( {0;3} \right)$

d) Để O(0; 0) là trọng tâm của tam giác ABD thì $\left( {0;0} \right) = \left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_D}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_D}}}{3}} \right)$

$\Leftrightarrow \left( {0;0} \right) = \left( {\frac{{1 + 2 + x}}{3};\frac{{3 + 4 + y}}{3}} \right)$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {0;0} \right) = \left( {1 + 2 + x;3 + 4 + y} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {0;0} \right) = \left( {x + 3;y + 7} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 = x + 3\\0 = y + 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  – 3\\y =  – 7\end{array} \right.\end{array}$

Vậy tọa độ điểm D là (-3; -7).