Giải bài 4.17 trang 65 SGK Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các vectơ \(\overrightarrow a  = 3.\overrightarrow i  – 2.\overrightarrow j ,\)\(\overrightarrow b  = \left( {4; – 1} \right)\) và các điểm M (-3; 6), N(3; -3).

a) Tìm mối liên hệ giữa các vectơ \(\overrightarrow {MN} \) và \(2\;\overrightarrow a  – \overrightarrow b \).

b) Các điểm O, M, N có thẳng hàng hay không?

c) Tìm điểm P(x; y) để OMNP là một hình bình hành.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(\overrightarrow b  = \left( {4; – 1} \right)\) và \(\overrightarrow a  = 3.\overrightarrow i  – 2.\overrightarrow j \;\; \Rightarrow \;\overrightarrow a \;\left( {3; – 2} \right)\)

\( \Rightarrow 2\;\overrightarrow a  – \overrightarrow b  = \left( {2.3 – 4\;;\;2.\left( { – 2} \right) – \left( { – 1} \right)} \right) = \left( {2; – 3} \right)\)

Lại có: M (-3; 6), N(3; -3)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( {3 – \left( { – 3} \right); – 3 – 6} \right) = \left( {6; – 9} \right)\)

Dễ thấy:\(\left( {6; – 9} \right) = 3.\left( {2; – 3} \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = 3\left( {2\;\overrightarrow a  – \overrightarrow b } \right)\)

b) Ta có: \(\overrightarrow {OM}  = \left( { – 3;6} \right)\) ( do M(-3; 6)) và \(\overrightarrow {ON}  = \left( {3; – 3} \right)\) (do N (3; -3)).

Hai vectơ này không cùng phương (vì \(\frac{{ – 3}}{3} \ne \frac{6}{{ – 3}}\)).

Do đó các điểm O, M, N không cùng nằm trên một đường thẳng.

Vậy chúng không thẳng hàng.

c) Các điểm O, M, N không thẳng hàng nên OMNP là một hình hành khi và chỉ khi \(\overrightarrow {OM}  = \overrightarrow {PN} \).

Do \(\overrightarrow {OM}  = \left( { – 3;6} \right),\;\overrightarrow {PN}  = \left( {3 – x; – 3 – y} \right)\)  nên

\(\overrightarrow {OM}  = \overrightarrow {PN}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 3 = 3 – x\\6 =  – 3 – y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y =  – 9\end{array} \right.\)

Vậy điểm cần tìm là P (6; -9).