Lý thuyết Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm – Toán 11 Cánh diều

1. Định nghĩa

– Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên khoảng (a; b) và điểm ${x_0} \in \left( {a;b} \right)$.

Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) – f\left( {{x_0}} \right)}}{{x – {x_0}}}$ thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số $y = f\left( x \right)$ tại ${x_0}$ và được kí hiệu là $f’\left( {{x_0}} \right)$ hoặc $y{‘_{x_o}}$.

– Hàm số $y = f\left( x \right)$ được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó.

2. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

Để tính đạo hàm $f’\left( {{x_0}} \right)$ của hàm số $y = f\left( x \right)$ tại ${x_0}$, ta lần lượt thực hiện ba bước sau:

Bước 1. Xét $\Delta x = x – {x_0}$ là số gia của biến số tại điểm ${x_0}$.

Tính $\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) – f\left( {{x_0}} \right)$.

Bước 2.  Rút gọn tỉ số $\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$.

Bước 3. Tính $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$.

Kết luận: Nếu $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = a$ thì $f’\left( {{x_0}} \right) = a$.

3. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

– Đạo hàm của hàm số $y = f\left( x \right)$ tại điểm ${x_0}$ là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm ${M_0}\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)$.

– Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ tại điểm ${M_0}\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)$ là $y = f’\left( {{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)$.