Giải bài 6 trang 45 sách bài tập toán 11 – Cánh diều

Đề bài

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_n} = \cos n\). Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là:

A. Dãy số tăng             

B. Dãy số giảm

C. Dãy số bị chặn                  

D. Dãy số bị chặn dưới, không bị chặn trên

Lời giải chi tiết

Xét hiệu:

\(H = {u_{n + 1}} – {u_n} = \cos \left( {n + 1} \right) – \cos \left( n \right) =  – 2\sin \left( {\frac{{n + 1 + n}}{2}} \right)\sin \left( {\frac{{n + 1 – n}}{2}} \right) =  – 2\sin \frac{{2n + 1}}{2}\sin \frac{1}{2}\)

Với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), ta không thể xác định dấu của \(\sin \frac{{2n + 1}}{2}\), do đó không thể kết luận \(H > 0\) hay \(H < 0\), tức là không thể kết luận dãy số tăng hay giảm.

Mặt khác, do \( – 1 \le \cos n \le 1\) với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) vừa bị chặn dưới, vừa bị chặn trên. Do đó dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn.

Đáp án đúng là C.