Giải bài 53 trang 57 sách bài tập toán 11 – Cánh diều

Đề bài

Tổng $1 + 11 + 101 + 1001 + ….. + 100…01$ (12 số hạng) bằng:

A. $\frac{{{{10}^{11}} + 107}}{9}$               

B. $\frac{{{{10}^{12}} + 98}}{9}$        

C. $\frac{{{{10}^{12}} + 107}}{9}$  

D. $\frac{{{{10}^{11}} + 98}}{9}$

Lời giải chi tiết

Ta có

$\begin{array}{l}1 + 11 + 101 + 1001 + ….. + 100…01\\ = 1 + \left( {10 + 1} \right) + \left( {100 + 1} \right) + … + \left( {100…0 + 1} \right)\\ = 1.12 + \left( {10 + 100 + 1000 + … + 100…0} \right)\end{array}$

Xét tổng $10 + 100 + 1000 + … + 100…0$. Ta thấy tổng này gồm 11 số hạng.

Xét cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ với số hạng đầu ${u_1} = 10$ và công bội $q = 10$. Ta nhận thấy:

$10 + 100 + 1000 + … + 100…0 = {u_1} + {u_2} + {u_3} + … + {u_{11}}$.

Vậy tổng trên có giá trị là ${S_{11}} = {u_1}\frac{{1 – {q^{11}}}}{{1 – q}} = 10\frac{{1 – {{10}^{11}}}}{{1 – 10}} = \frac{{10\left( {{{10}^{11}} – 1} \right)}}{9} = \frac{{{{10}^{12}} – 10}}{9}$

Suy ra tổng cần tính bằng $12 + \frac{{{{10}^{12}} – 10}}{9} = \frac{{{{10}^{12}} + 98}}{9}$

Đáp án đúng là B.