Giải bài 55 trang 57 sách bài tập toán 11 – Cánh diều

Đề bài

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có tổng $n$ số hạng đầu là${S_n} = \frac{{n\left( { – 1 – 5n} \right)}}{2}$ với $n \in {\mathbb{N}^*}$.

a)    Tính ${u_1}$, ${u_2}$ và ${u_3}$.

b)    Tìm công thức của số hạng tổng quát ${u_n}$.

c)     Chứng minh rằng dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là một cấp số cộng.

Lời giải chi tiết

a, Ta có

${S_1} = {u_1} \Rightarrow {u_1} = \frac{{1\left( { – 1 – 5.1} \right)}}{2} =  – 3$

${S_2} = {u_1} + {u_2} = {S_1} + {u_2} \Rightarrow {u_2} = {S_2} – {S_1} = \frac{{2\left( { – 1 – 5.2} \right)}}{2} – \frac{{1\left( { – 1 – 5.1} \right)}}{2} =  – 8$

${S_3} = {u_1} + {u_2} + {u_3} = {S_2} + {u_3} \Rightarrow {u_3} = {S_3} – {S_2} = \frac{{3\left( { – 1 – 5.3} \right)}}{3} – \frac{{2\left( { – 1 – 5.2} \right)}}{2} =  – 13$

Vậy ba số hạng đầu của dãy số là $– 3$, $– 8$, $– 13$.

b) Ta có

${S_n} = {u_1} + {u_2} + … + {u_{n – 1}} + {u_n}$, ${S_{n – 1}} = {u_1} + {u_2} + … + {u_{n – 1}}$

$\Rightarrow {u_n} = {S_n} – {S_{n – 1}} = \frac{{n\left( { – 1 – 5n} \right)}}{2} – \frac{{\left( {n – 1} \right)\left[ { – 1 – 5\left( {n – 1} \right)} \right]}}{2} = \frac{{n – 5{n^2}}}{2} – \frac{{\left( {n – 1} \right)\left( {4 – 5n} \right)}}{2}$

$= \frac{{n – 5{n^2} – \left( { – 4 + 5{n^2} + 9n} \right)}}{2} = \frac{{4 – 10n}}{2} = 2 – 5n$

c) Xét ${u_n} – {u_{n – 1}} = \left( {2 – 5n} \right) – \left[ {2 – 5\left( {n – 1} \right)} \right] = \left( {2 – 5n} \right) – \left( {2 – 5n + 5} \right) = 5$.

Do ${u_n} – {u_{n – 1}} = 5$ là hằng số, dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số cộng.