Giải bài 4 trang 62 SGK Toán 10 tập 2 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy và đi qua điểm \(A(4;2)\)

Lời giải chi tiết

Gọi tâm của đường tròn là điểm \(I(a;b)\)

Ta có: \(IA = \sqrt {{{\left( {a – 4} \right)}^2} + {{\left( {b – 2} \right)}^2}} ,d\left( {I,Ox} \right) = b,d\left( {I,Oy} \right) = a\)

Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}d\left( {I,Ox} \right) = IA\\d\left( {I,Oy} \right) = IA\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \sqrt {{{\left( {a – 4} \right)}^2} + {{\left( {b – 2} \right)}^2}} \\a = \sqrt {{{\left( {a – 4} \right)}^2} + {{\left( {b – 2} \right)}^2}} \end{array} \right.\)

Thay \(a = b\) vào phương trình \(a = \sqrt {{{\left( {a – 4} \right)}^2} + {{\left( {b – 2} \right)}^2}} \) ta có:

\(\begin{array}{l}a = \sqrt {{{\left( {a – 4} \right)}^2} + {{\left( {a – 2} \right)}^2}} \\ \Rightarrow {a^2} = {\left( {a – 4} \right)^2} + {\left( {a – 2} \right)^2}\\ \Rightarrow {a^2} – 12a + 20 = 0\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 10\\a = 2\end{array} \right. \end{array}\)

Với \(a = b = 2\) ta có phương trình đường tròn (C) là: \({\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} = 4\)

Với \(a = b = 10\) ta có phương trình đường tròn (C) là: \({\left( {x – 10} \right)^2} + {\left( {y – 10} \right)^2} = 100\)