Giải bài 1 trang 68 sách bài tập toán 11 – Chân trời sáng tạo tập 2

Đề bài

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) theo a, biết $SA = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$.

Lời giải chi tiết

Gọi E là trung điểm của BC. Vì tam giác ABC đều nên AE là đường trung tuyến đồng thời là đường cao. Do đó, $AE \bot BC$

Ta có: $SA \bot \left( {ABC} \right),BC \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC$, mà $AE \bot BC$.  Suy ra: $BC \bot \left( {SAE} \right)$

Kẻ $AF \bot SE\left( {S \in SE} \right)$. Vì $BC \bot \left( {SAE} \right)$$\Rightarrow BC \bot AF$

Ta có: $BC \bot AF,AF \bot SE,$ BC và SE cắt nhau tại E và nằm trong mặt phẳng (SBC) nên $AF \bot \left( {SBC} \right)$. Khi đó, AF là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).

Vì tam giác ABC đều nên $\widehat {ABC} = {60^0}$.

Tam giác ABE vuông tại E có: $AE = AB.\sin \widehat {ABC} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Vì $SA \bot \left( {ABC} \right),AE \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot AE$

Tam giác AES vuông tại A, có AF là đường cao nên:

$\frac{1}{{A{F^2}}} = \frac{1}{{A{E^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} = \frac{4}{{3{a^2}}} + \frac{4}{{6{a^2}}} = \frac{2}{{{a^2}}} \Rightarrow AF = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$