Giải bài 4 trang 68 sách bài tập toán 11 – Chân trời sáng tạo tập 2

Cho hình tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 11. Gọi I là trung điểm của cạnh CD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BI.

Đề bài

Cho hình tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 11. Gọi I là trung điểm của cạnh CD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BI.

Phương pháp giải – Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau để tính: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại. 

Lời giải chi tiết

Vui lòng nhập mật khẩu để tiếp tục

test321

Gọi O là tâm của tam giác đều BCD. Khi đó, AO(BCD)

Qua C kẻ đường thẳng song song với BI cắt BD tại F. Khi đó, CF//BI nên BI//(ACF)

Suy ra: d(AC,BI)=d(BI,(ACF))=d(O,(ACF))

Ta có: BICD,CF//BI CFCD

Qua O kẻ đường thẳng song song với CD cắt CF tại E. Ta có: OE//CD OECF

OECF,CFAO(doAO(BCD)) CF(AOE)

Trong (AOE), kẻ OHAE(HAC) OH(ACF) d(O,(ACF))=OH

Chứng minh được tứ giác OICE là hình chữ nhật. Suy ra OE=CI=CD2=112

Tam giác BCD đều, BI là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác nên BI=BC32=332 BO=23BI=333

AO(BCD) AOBO,AOOE.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABO vuông tại O có: AO=AB2BO2=663

Tam giác AOE vuông tại O, đường cao OH có: 1OH2=1OA2+1OE2=966+411=12

Do đó, OH=2

TẢI APP ĐỂ XEM OFFLINE