Giải bài 1 trang 61 sách bài tập toán 11 – Chân trời sáng tạo tập 2

Đề bài

Cho tứ diện ABCD có tam giác BCD vuông cân tại B và $AB \bot \left( {BCD} \right)$. Cho biết $BC = a\sqrt 2 ,AB = \frac{a}{{\sqrt 3 }}$. Xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD).

Lời giải chi tiết

Gọi I là trung điểm của CD.

Tam giác BCD vuông cân tại B nên BI là đường trung tuyến đồng thời là đường cao.

Do đó, $BI \bot CD$.

Tam giác BCD vuông cân tại B nên $BC = BD = a\sqrt 2$

Vì $AB \bot \left( {BCD} \right),BD \subset \left( {BCD} \right) \Rightarrow AB \bot BD$. Do đó, tam giác ABD vuông tại B.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABD vuông tại B có:

$AD = \sqrt {A{B^2} + B{D^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{a}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2} + {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt {21} }}{3}$

Vì $AB \bot \left( {BCD} \right),BC \subset \left( {BCD} \right) \Rightarrow AB \bot BC$. Do đó, tam giác ABC vuông tại B.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại B có:

$AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{a}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2} + {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt {21} }}{3}$

Do đó, $AC = AD$ nên tam giác ACD cân tại A.

Nên AI là đường trung tuyến đồng thời là đường cao. Suy ra, $AI \bot CD$.

Ta có: CD là giao tuyến của hai mặt phẳng (BCD) và (ACD)$BI \bot CD,AI \bot CD,BI \subset \left( {BCD} \right),AI \subset \left( {ACD} \right)$. Nên $\left( {\left( {ACD} \right),\left( {BCD} \right)} \right) = \left( {AI,BI} \right) = \widehat {AIB}$

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác BCD vuông tai B có: $CD = \sqrt {B{C^2} + B{D^2}}  = 2a$

Tam giác BCD vuông cân tại B nên $BI = \frac{{CD}}{2} = a$

Vì $AB \bot \left( {BCD} \right),BI \subset \left( {BCD} \right) \Rightarrow AB \bot BI$. Do đó, tam giác ABI vuông tại B.

Do đó, $\tan \widehat {AIB} = \frac{{AB}}{{BI}} = \frac{a}{{a\sqrt 3 }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \widehat {AIB} = {30^0}$