Bài 5.3 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 – Kết nối tri thức

Đề bài

Tìm giới hạn của các dãy số cho bởi

a) \({u_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{{2n – 1}}\)                                        

b) \({v_n} = \sqrt {2{n^2} + 1}  – n\)

Lời giải chi tiết

a)  \(\mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } {u_n}\; = \mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } \frac{{{n^2} + 1}}{{2n – 1}}\; = \mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } \frac{{1 + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{\frac{2}{n} – \frac{1}{{{n^2}}}}}\)

Ta có: \(\mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } \left( {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)\; = 1,\;\mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } \left( {\frac{2}{n} – \frac{1}{{{n^2}}}} \right)\; = 0\)

Suy ra \({u_n}\; =  + \infty \)

b) \({v_n}\; = \sqrt {2{n^2} + 1}  – n\; = \frac{{2{n^2} + 1 – {n^2}}}{{\sqrt {2{n^2} + 1} + n }}\; = \frac{{{n^2} + 1}}{{{n^2}\left( {\sqrt {\frac{2}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^4}}} }+ \frac{1}{n} } \right)}} = \frac{{1 + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{\sqrt {\frac{2}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^4}}} }+ \frac{1}{n} }}\;\; =  + \infty \)