Giải mục 2 trang 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38 SGK Toán 11 tập 1 – Cùng khám phá

Hoạt động 2

Trong Hình 1.45, xét đường thẳng \(y = m\left( { – 1 \le m \le 1} \right)\) và đồ thị hàm số \(y = \sin x\).

a) Dựa vào Hình 1.45, cho biết trên đoạn \(\left[ { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\), đồ thị hàm số \(y = \sin x\) cắt đường thẳng \(y = m\) tại điểm có hoành độ là giá trị nào.

b) Biểu diễn hoành độ của tất cả các giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \sin x\) và đường thẳng \(y = m\) theo hoành độ của giao điểm trong câu a).

Phương pháp giải:

Quan sát hình vẽ để trả lời câu hỏi.

Lời giải chi tiết:

a) Dựa vào Hình 1.45, trên đoạn \(\left[ { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\), đồ thị hàm số \(y = \sin x\) cắt đường thẳng \(y = m\) tại điểm có hoành độ là \(a\) và \(\pi  – a\).

b) Hoành độ của tất cả các giao điểm lần lượt từ trái sang phải là \( – 3\pi  – a;a – 2\pi ; – \pi  – a;a;\pi  – a;a + 2\pi ;3\pi  – a\).

Luyện tập 3

Giải các phương trình sau:

a) \(\sin x = \frac{1}{3};\)

b) \(\sin 2x =  – \frac{1}{2};\)

c) \(\sin \left( {x + {{30}^0}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Phương pháp giải:

\(\begin{array}{l}\sin x = m \Leftrightarrow \sin x = \sin \alpha \\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha  + k2\pi \\x = \pi  – \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

a)

\(\begin{array}{l}\sin x = \frac{1}{3}\\ \Leftrightarrow \sin x = \sin 0,34\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0,34 + k2\pi \\x = \pi  – 0,34 + k2\pi  \approx 2,8 + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy phương trình có các nghiệm là \(x = 0,34 + k2\pi ,x = 2,8 + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

b)

\(\begin{array}{l}\sin 2x =  – \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \sin 2x = \sin \left( { – \frac{\pi }{6}} \right)\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  – \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \pi  – \left( { – \frac{\pi }{6}} \right) + k2\pi  = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy phương trình có các nghiệm là \(x =  – \frac{\pi }{6} + k2\pi ,x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

c)

\(\begin{array}{l}\sin \left( {x + {{30}^0}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow \sin \left( {x + {{30}^0}} \right) = \sin \left( {{{45}^0}} \right)\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x + {30^0} = {45^0} + k{360^0}\\x + {30^0} = {180^0} – {45^0} + k{360^0} = {135^0} + k{360^0}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {15^0} + k{360^0}\\x = {180^0} – {45^0} – {30^0} + k{360^0} = {105^0} + k{360^0}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy phương trình có các nghiệm là \(x = {15^0} + k{360^0},x = {105^0} + k{360^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Luyện tập 4

Giải phương trình: \(\sin 4x =  – \sin \left( {\pi  – x} \right)\).

Phương pháp giải:

\(\begin{array}{l}\sin x =  – \sin \alpha \\ \Leftrightarrow \sin x = \sin \left( { – \alpha } \right)\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  – \alpha  + k2\pi \\x = \pi  + \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\sin 4x =  – \sin \left( {\pi  – x} \right)\\ \Leftrightarrow \sin 4x = \sin \left( { – \pi  + x} \right)\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}4x =  – \pi  + x + k2\pi \\x = \pi  – \left( { – \pi  + x} \right) + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x =  – \pi  + k2\pi \\2x = 2\pi  + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  – \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3}\\x = \pi  + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy phương trình có các nghiệm là \(x =  – \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3},x = \pi  + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Vận dụng 1

Giả sử số lượng N của một loài hươu sau t năm được xác định bởi công thức

\(N = 30000 + 20000\sin \left( {\frac{{\pi t}}{{10}}} \right)\)

Xác định năm đầu tiên mà số lượng của loài hươu này bằng 50 nghìn con theo công thức trên.

Phương pháp giải:

Thay N = 50000 vào phương trình. Giải phương trình lượng giác cơ bản để tìm t.

Lời giải chi tiết:

Thay N = 50000 vào phương trình, ta có:

\(\begin{array}{l}30000 + 20000\sin \left( {\frac{{\pi t}}{{10}}} \right) = 50000\\ \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{{\pi t}}{{10}}} \right) = 1\\ \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{{\pi t}}{{10}}} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{2}} \right)\\ \Rightarrow \frac{{\pi t}}{{10}} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\ \Leftrightarrow t = 5 + k20\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy sau 5 năm đầu tiên thì số lượng của loài hươu này bằng 50 nghìn con.

Hoạt động 3

Trong Hình 1.46, xét đường thẳng \(y = m\left( { – 1 \le m \le 1} \right)\) và đồ thị hàm số \(y = \cos x\).

a) Dựa vào Hình 1.46, cho biết trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\), đồ thị hàm số \(\cos x = m\) cắt đường thẳng \(y = m\) tại điểm có hoành độ là giá trị nào.

b) Biểu diễn hoành độ của tất cả các giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \cos x\) và đường thẳng \(y = m\) theo hoành độ của giao điểm trong câu a).

Phương pháp giải:

Quan sát hình vẽ để trả lời câu hỏi.

Lời giải chi tiết:

a) Dựa vào Hình 1.46, trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\), đồ thị hàm số \(\cos x = m\) cắt đường thẳng \(y = m\) tại điểm có hoành độ là \( – a\) và \(a\).

b) Hoành độ của tất cả các giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \cos x\) và đường thẳng \(y = m\) lần lượt từ trái sang phải là \( – a – 2\pi ;a – 2\pi ; – a;a; – a + 2\pi ;a + 2\pi \).

Luyện tập 5

Giải các phương trình sau:

a) \(\cos 2x = \cos \frac{\pi }{3};\)

b) \(\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) =  – 1;\)

c) \(\cos \left( {x – {{45}^0}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)

Phương pháp giải:

\(\begin{array}{l}\cos x = m\\ \Leftrightarrow \cos x = \cos \alpha \\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha  + k2\pi \\x =  – \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

a)

\(\begin{array}{l}\cos 2x = \cos \frac{\pi }{3}\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\2x =  – \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k\pi \\x =  – \frac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy phương trình có các nghiệm là \(x = \frac{\pi }{6} + k\pi ,x =  – \frac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

b)

\(\begin{array}{l}\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) =  – 1\\ \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = \pi  + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy phương trình có các nghiệm là \(x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

c)

\(\begin{array}{l}\cos \left( {x – {{45}^0}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\ \Leftrightarrow \cos \left( {x – {{45}^0}} \right) = \cos \left( {{{30}^0}} \right)\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x – {45^0} = {30^0} + k{360^0}\\x – {45^0} =  – {30^0} + k{360^0}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {75^0} + k{360^0}\\x = {15^0} + k{360^0}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy phương trình có các nghiệm là \(x = {75^0} + k{360^0},x = {15^0} + k{360^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Luyện tập 6

Giải phương trình sau: \(\sin 5x =  – \cos \left( {\pi  + x} \right).\)

Phương pháp giải:

Đưa phương trình về dạng \(\cos x = \cos \alpha \)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha  + k2\pi \\x =  – \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\sin 5x =  – \cos \left( {\pi  + x} \right)\\ \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{2} – 5x} \right) = \cos \left( {\pi  + x} \right)\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{2} – 5x = \pi  + x + k2\pi \\\frac{\pi }{2} – 5x =  – \pi  – x + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} – 6x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\ – 4x =  – \frac{{3\pi }}{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  – \frac{\pi }{{12}} – k\frac{\pi }{3}\\x = \frac{{3\pi }}{8} – k\frac{\pi }{2}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy phương trình có các nghiệm là \(x =  – \frac{\pi }{{12}} – k\frac{\pi }{3},x = \frac{{3\pi }}{8} – k\frac{\pi }{2}\)

Vận dụng 2

Cường độ dòng điện i (ampe) qua một mạch điện xoay chiều được tính bởi công thức \(i = 10\sqrt 2 \cos \left( {100\pi t} \right),\) trong đó t là thời gian tính bằng giây. Xác định thời điểm đầu tiên cường độ dòng điện bằng 10 ampe.

Phương pháp giải:

Thay i = 10 vào công thức. Giải phương trình lượng giác cơ bản để tìm t.

Lời giải chi tiết:

Thay i = 10 vào công thức, ta có:

\(\begin{array}{l}10\sqrt 2 \cos \left( {100\pi t} \right) = 10\\ \Leftrightarrow \cos \left( {100\pi t} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow \cos \left( {100\pi t} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{4}} \right)\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}100\pi t = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\100\pi t =  – \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{1}{{400}} + \frac{k}{{50}}\\t =  – \frac{1}{{400}} + \frac{k}{{50}}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy thời điểm đầu tiên cường độ dòng điện bằng 10 ampe là \(\frac{1}{{400}}\) giây.

Hoạt động 4

Trong Hình 1.47, xét đường thẳng \(y = m\) và đồ thị hàm số \(y = \tan x\).

a) Dựa vào Hình 1.47, cho biết trên đoạn \(\left( { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\), đồ thị hàm số \(y = \tan x\) cắt đường thẳng \(y = m\) tại điểm có hoành độ là giá trị nào.

b) Biểu diễn hoành độ của tất cả các giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \tan x\) và đường thẳng \(y = m\) theo hoành độ của giao điểm trong câu a).

Phương pháp giải:

Quan sát hình vẽ để trả lời.

Lời giải chi tiết:

a) Dựa vào Hình 1.47, trên đoạn \(\left( { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\), đồ thị hàm số \(y = \tan x\) cắt đường thẳng \(y = m\) tại điểm có hoành độ là \(a\).

b) Hoành độ của tất cả các giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \tan x\) và đường thẳng \(y = m\) lần lượt từ trái sang phải là \(a – 2\pi ,a – \pi ,a,a + \pi ,a + 2\pi \).

Luyện tập 7

Giải các phương trình sau:

a) \(\tan 3x = 1;\)

b) \(\tan 4x =  – 1,5;\)

c) \(\tan \left( {x + {{15}^0}} \right) =  – \sqrt 3 .\)

Phương pháp giải:

\(\begin{array}{l}\tan x = m\\ \Leftrightarrow \tan x = \tan \alpha \\ \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

a)

\(\begin{array}{l}\tan 3x = 1\\ \Leftrightarrow \tan 3x = \tan \frac{\pi }{4}\\ \Leftrightarrow 3x = \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{3}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)                  

Vậy phương trình có nghiệm là \(x = \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{3}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

b) Gọi a là góc lượng giác thuộc khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) thỏa mãn \(\tan 4x =  – 1,5\)

\(\begin{array}{l}\tan 4x = \tan a\\ \Leftrightarrow 4x = a + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow x = \frac{a}{4} + k\frac{\pi }{4}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm là \(x = \frac{a}{4} + k\frac{\pi }{4}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

c)

\(\begin{array}{l}\tan \left( {x + {{15}^0}} \right) =  – \sqrt 3 \\ \Leftrightarrow \tan \left( {x + {{15}^0}} \right) = \tan \left( { – {{60}^0}} \right)\\ \Leftrightarrow x + {15^0} =  – {60^0} + k{180^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow x =  – {75^0} + k{180^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm là \(x =  – {75^0} + k{180^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vận dụng 3

Một người dẫn em gái của mình đến công viên để chơi xích đu. Lực đẩy theo phương ngang F (N) mà người đó dùng để đẩy em gái trong trò chơi này được xác định bởi công thức \(F = mg\tan \theta \), trong đó m (kg) là khối lượng của em gái, g là gia tốc trọng trường và \(\theta \) là góc tạo bởi xích đu khi bắt đầu được đẩy với phương thẳng đứng (Hình 1.49) (nguồn: https://www.khanacademy.org/science/physics/centripetal-force-and-gravitation/centripetal-forces/v/mass-swiging-in-a-horizontal-circle). Xác định góc \(\theta \) khi \(F = 400\sqrt 3 \)N, m = 40 kg và g = 10 m/s².

Phương pháp giải:

Thay \(F = 400\sqrt 3 \), m = 40 và g = 10 vào công thức. Giải phương trình lượng giác cơ bản để tìm \(\theta \).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}400\sqrt 3  = 40.10.\tan \theta \\ \Leftrightarrow \tan \theta  = \sqrt 3 \\ \Leftrightarrow \tan \theta  = \tan {60^0}\\ \Leftrightarrow \theta  = {60^0} + k{180^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy \(\theta  = {60^0}\)

Hoạt động 5

Trong Hình 1.50, xét đường thẳng \(y = m\)và đồ thị hàm số \(y = \cot x\).

a) Dựa vào Hình 1.50, cho biết trên đoạn \(\left( {0;\pi } \right)\), đồ thị hàm số \(y = \cot x\) cắt đường thẳng \(y = m\) tại điểm có hoành độ là giá trị nào.

b) Biểu diễn hoành độ của tất cả các giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \cot x\) và đường thẳng \(y = m\) theo hoành độ của giao điểm trong câu a).

Phương pháp giải:

Quan sát hình vẽ để trả lời.

Lời giải chi tiết:

a) Dựa vào Hình 1.50, trên đoạn \(\left( {0;\pi } \right)\), đồ thị hàm số \(y = \cot x\) cắt đường thẳng \(y = m\) tại điểm có hoành độ là \(a\).

b) Hoành độ của tất cả các giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \cot x\) và đường thẳng \(y = m\) lần lượt từ trái sang phải là \(a – 2\pi ,a – \pi ,a,a + \pi \).

Luyện tập 8

Giải các phương trình sau:

a) \(\cot 2x =  – 1;\)

b) \(\cot 6x = 4;\)

c) \(\cot \left( {x – {{45}^0}} \right) = \sqrt 3 .\)

Phương pháp giải:

\(\begin{array}{l}\cot a = m \Leftrightarrow \cot a = \cot b\\ \Leftrightarrow a = b + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

a)

\(\begin{array}{l}\cot 2x =  – 1\\ \Leftrightarrow \cot 2x = \cot \left( { – \frac{\pi }{4}} \right)\\ \Leftrightarrow 2x =  – \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow x =  – \frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm là \(x =  – \frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

b) Gọi a là góc lượng giác thuộc khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) thỏa mãn \(\cot 6x = 4\)

\(\begin{array}{l}\cot 6x = \cot a\\ \Leftrightarrow 6x = a + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow x = \frac{a}{6} + k\frac{\pi }{6}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm là \(x = \frac{a}{6} + k\frac{\pi }{6}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

c)

\(\begin{array}{l}\cot \left( {x – {{45}^0}} \right) = \sqrt 3 \\ \Leftrightarrow \cot \left( {x – {{45}^0}} \right) = \cot \left( {{{30}^0}} \right)\\ \Leftrightarrow x – {45^0} = {30^0} + k{180^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow x = {75^0} + k{180^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm là \(x = {75^0} + k{180^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)