Giải mục 1 trang 80, 81 SGK Toán 11 tập 1 – Chân trời sáng tạo

Hoạt động 1

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}1&{khi\,\,0 \le x \le 1}\\{1 + x}&{khi\,\,1 < x \le 2}\\{5 – x}&{khi\,\,2 < x \le 3}\end{array}} \right.\) có đồ thị như Hình 1.

Tại mỗi điểm \({x_0} = 1\) và \({x_0} = 2\), có tồn tại giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)\) không? Nếu có, giới hạn đó có bằng \(f\left( {{x_0}} \right)\) không?

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính các giới hạn một bên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ – } {\rm{ }}f\left( x \right)\).

Bước 2: So sánh \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ – } {\rm{ }}f\left( x \right)\)

                • Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ – } {\rm{ }}f\left( x \right) = L\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\).

                • Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ – } {\rm{ }}f\left( x \right)\) thì không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết:

• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {1 + x} \right) = 1 + 1 = 2\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} 1 = 1\).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} {\rm{ }}f\left( x \right)\) nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\).

• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {5 – x} \right) = 5 – 2 = 3\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \left( {1 + x} \right) = 1 + 2 = 3\).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} {\rm{ }}f\left( x \right) = 3\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = 3\).

Ta có: \(f\left( 2 \right) = 1 + 2 = 3\).

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\).

Thực hành 1

Xét tính liên tục của hàm số:

a) \(f\left( x \right) = 1 – {x^2}\) tại điểm \({x_0} = 3\);  

b) \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 1}&{khi\,\,x > 1}\\{ – x}&{khi\,\,x \le 1}\end{array}} \right.\) tại điểm \({x_0} = 1\).

Phương pháp giải:

Bước 1: Kiểm tra \({x_0}\) thuộc tập xác định. Tính \(f\left( {{x_0}} \right)\).

Bước 2: Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)\) (nếu có).

Bước 3: Kết luận:

• Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\) thì hàm số liên tục tại điểm \({x_0}\).

• Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) \ne f\left( {{x_0}} \right)\) hoặc không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)\) thì hàm số không liên tục tại điểm \({x_0}\).

Lời giải chi tiết:

a) \(f\left( 3 \right) = 1 – {3^2} = 1 – 9 =  – 8\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {1 – {x^2}} \right) = 1 – {3^2} = 1 – 9 =  – 8\).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = f\left( 3 \right) =  – 8\) nên hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 3\).

b) \(f\left( 1 \right) =  – 1\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} + 1} \right) = {1^2} + 1 = 2\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \left( { – x} \right) =  – 1\).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} {\rm{ }}f\left( x \right)\) nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\)

Vậy hàm số không liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).