Giải mục 2 trang 82 SGK Toán 11 tập 1 – Chân trời sáng tạo

Cho hàm số y=f(x)={x+1khi1<x2kkhix=1.

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Hoạt động 2

Cho hàm số y=f(x)={x+1khi1<x2kkhix=1.

a) Xét tính liên tục của hàm số tại mỗi điểm x0(1;2).

b) Tìm limx2f(x) và so sánh giá trị này với f(2).

c) Với giá trị nào của k thì limx1+f(x)=k?

Phương pháp giải:

a) Bước 1: Tính f(x0).

Bước 2: Tính limxx0f(x) (nếu có).

Bước 3: Kết luận:

• Nếu limxx0f(x)=f(x0) thì hàm số liên tục tại điểm x0.

• Nếu limxx0f(x)f(x0) hoặc không tồn tại limxx0f(x) thì hàm số không liên tục tại điểm x0.

b) Áp dụng các công thức tính giới hạn của hàm số.

c) Tính limx1+f(x) và giải phương trình limx1+f(x)=k.

Lời giải chi tiết:

a) Với mọi điểm x0(1;2), ta có: f(x0)=x0+1.

limxx0f(x)=limxx0(x+1)=x0+1.

limxx0f(x)=f(x0)=x0+1 nên hàm số y=f(x) liên tục tại mỗi điểm x0(1;2).

b) limx2f(x)=limx2(x+1)=2+1=3.

f(2)=2+1=3.

limx2f(x)=f(2).

c) limx1+f(x)=limx1+(x+1)=1+1=2

limx1+f(x)=k2=kk=2

Vậy với k=2 thì limx1+f(x)=k.

Vui lòng nhập mật khẩu để tiếp tục

test321

Thực hành 2

Xét tính liên tục của hàm số y=x1+2x trên [1;2].

Phương pháp giải:

Bước 1: Xét tính liên tục của hàm số trên khoảng (a;b).

Bước 2: Tính giới hạn limxa+f(x),limxbf(x) và so sánh limxa+f(x) với f(a), limxbf(x) với f(b).

Bước 3: Kết luận.

Lời giải chi tiết:

Đặt f(x)=x1+2x

Với mọi x0(1;2), ta có:

limxx0f(x)=limxx0(x1+2x)=limxx0x1+limxx02x=limxx0xlimxx01+limxx02limxx0x=x01+2x0=f(x0)

Vậy hàm số y=f(x) liên tục tại mọi điểm x0(1;2).

Ta có:

limx1+f(x)=limx1+(x1+2x)=limx1+(x1+2x)=limx1+xlimx1+1+limx1+2limx1+x=11+21=1=f(1)

limx2f(x)=limx2(x1+2x)=limx2(x1+2x)=limx2xlimx21+limx22limx2x=21+22=1=f(2)

Vậy hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [1;2].

Vận dụng 1

Tại một xưởng sản xuất bột đã thạch anh, giá bán (tính theo nghìn đồng) của x (kg) bột đã thạch anh được tính theo công thức sau:

P(x)={4,5xkhi0<x4004x+kkhix>400                (k là một hãng số).

a) Với k=0, xét tính liên tục của hàm số P(x) trên (0;+).

b) Với giá trị nào của k thì hàm số P(x) liên tục trên (0;+)?

Phương pháp giải:

a) Xét tính liên tục của hàm số tại các điểm x0(0;400),x0(400;+) và điểm x0=400, từ đó đưa ra kết luận.

b) Bước 1: Xét tính liên tục của hàm số tại các điểm x0(0;400),x0(400;+).

Bước 2: Tính limx400P(x)P(400).

Bước 3: Giải phương trình limx400P(x)=P(400) để tìm k.

a) Xét tính liên tục của hàm số tại các điểm x0(0;400),x0(400;+) và điểm x0=400, từ đó đưa ra kết luận.

b) Bước 1: Xét tính liên tục của hàm số tại các điểm x0(0;400),x0(400;+).

Bước 2: Tính limx400P(x)P(400).

Bước 3: Giải phương trình limx400P(x)=P(400) để tìm k.

Lời giải chi tiết:

a) Với k=0, hàm số có dạng P(x)={4,5xkhi0<x4004xkhix>400

• Với mọi x0(0;400), ta có:

limxx0P(x)=limxx0(4,5x)=4,5limxx0x=4,5x0=P(x0)

Vậy hàm số y=P(x) liên tục tại mọi điểm x0(0;400).

• Với mọi x0(400;+), ta có:

limxx0P(x)=limxx0(4x)=4limxx0x=4x0=P(x0)

Vậy hàm số y=P(x) liên tục tại mọi điểm x0(400;+).

f(400)=4,5.400=1800.

limx400+P(x)=limx400+(4x)=4limx400+x=4.400=1600.

limx400P(x)=limx400(4,5x)=4,5.limx400x=4,5.400=1800.

limx400+P(x)limx400P(x) nên không tồn tại limx400P(x).

Vậy hàm số không liên tục tại điểm x0=400.

Vậy hàm số y=f(x) không liên tục trên (0;+).

b) Xét hàm số P(x)={4,5xkhi0<x4004x+kkhix>400 (k là một hãng số)

Hàm số liên tục trên các khoảng (0;400)(400;+).

Ta có: f(400)=4,5.400=1800.

limx400+P(x)=limx400+(4x+k)=4limx400+x+limx400+k=4.400+k=1600+k.

limx400P(x)=limx400(4,5x)=4,5.limx400x=4,5.400=1800.

Để hàm số y=P(x) liên tục trên (0;+) thì hàm số y=P(x) phải liên tục tại điểm x0=400.

Để hàm số liên tục tại điểm x0=400 thì:

limx400+P(x)=limx400P(x)=f(400)1600+k=1800k=200

Vậy với k=200 thì hàm số P(x) liên tục trên (0;+)

TẢI APP ĐỂ XEM OFFLINE