Giải bài tập 4 trang 36 SGK Toán 12 tập 1 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{{{x^2} – 2x + 2}}{{x – 1}}\)

b) \(y = 2x – \frac{1}{{1 – 2x}}\)

Lời giải chi tiết

a) \(y = \frac{{{x^2} – 2x + 2}}{{x – 1}}\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ 1\} \)

• Chiều biến thiên:

\(y’ = \frac{{{x^2} – 2x}}{{{{(x – 1)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\)

Trên các khoảng (\( – \infty \); 0), (2; \( + \infty \)) thì y’ < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó. Trên khoảng (0; 2) thì y’ > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.

• Giới hạn và tiệm cận:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{{x^2} – 2x + 2}}{{x – 1}} =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \frac{{{x^2} – 2x + 2}}{{x – 1}} =  – \infty \)

\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{{x^2} – 2x + 2}}{{{x^2} – x}} = 1;b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (\frac{{{x^2} – 2x + 2}}{{x – 1}} – x) =  – 1\) nên y = x – 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} – 2x + 2}}{{x – 1}} =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{{x^2} – 2x + 2}}{{x – 1}} =  – \infty \) nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

• Bảng biến thiên:

Khi x = 0 thì y = -2 nên (0;-2) là giao điểm của y với trục Oy

b) \(y = 2x – \frac{1}{{1 – 2x}}\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ \frac{1}{2}\} \)

• Chiều biến thiên:

\(y’ = 2 – \frac{2}{{{{(1 – 2x)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\)

Trên các khoảng (\( – \infty \); 0), (1; \( + \infty \)) thì y’ > 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó. Trên khoảng (0; \(\frac{1}{2}\)) và (\(\frac{1}{2}\); 1) thì y’ < 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.

• Giới hạn và tiệm cận:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (2x – \frac{1}{{1 – 2x}}) =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } (2x – \frac{1}{{1 – 2x}}) =  – \infty \)

\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (2 – \frac{1}{{x – 2{x^2}}}) = 2;b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (2x – \frac{1}{{1 – 2x}} – 2x) = 0\) nên y = 2x  là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ + }} (2x – \frac{1}{{1 – 2x}}) =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ – }} (2x – \frac{1}{{1 – 2x}}) =  – \infty \) nên x = \(\frac{1}{2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

• Bảng biến thiên:

Khi x = 0 thì y = -1 nên (0;-1) là giao điểm của y với trục Oy