Giải bài 7.34 trang 41 sách bài tập toán 11 – Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho khối chóp đều \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng \(a\), góc giữa mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \(60^\circ \). Tính theo \(a\) thể tích khối chóp \(S.ABCD\).

Lời giải chi tiết

Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\), ta có \(SO\) vuông góc với mặt đáy \(\left( {ABCD} \right)\). Kẻ \(OM\) vuông góc với \(CD\) tại \(M\) thì \(SM\) cũng vuông góc với \(CD\) nên góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng góc giữa hai đường thẳng \(SM\) và \(OM\), mà \(\left( {SM,OM} \right) = \widehat {SMO} = 60^\circ \).
Ta có: \(OM = \frac{a}{2};\)\(SO = OM \cdot {\rm{tan}}\widehat {SMO} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\).
Vậy \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot {S_{ABCD}} \cdot SO = \frac{1}{3} \cdot {a^2} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\).