Giải bài 7.39 trang 41 sách bài tập toán 11 – Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và \(\widehat {BAC} = {60^ \circ }\), biết diện tích các tam giác \(ABC,SAB\) và \(SAC\) lần lượt là \(3\sqrt 3 ;9;12\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\).

Lời giải chi tiết

Đặt \(SA = a,AB = b,AC = c\).

 Khi đó \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3} \cdot {S_{ABC}} \cdot SA = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot bc \cdot {\rm{sin}}{60^ \circ } \cdot a = \frac{{abc\sqrt 3 }}{{12}}\)

Theo đề bài, ta có: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}bc \cdot {\rm{sin}}{60^ \circ } = 3\sqrt 3 \), suy ra \(bc = 12\).

\({S_{SAB}} = \frac{{ab}}{2} = 9\), suy ra \(ab = 18;{S_{SAC}} = \frac{{ac}}{2} = 12\), suy ra \(ac = 24\).

Do đó \({(abc)^2} = 12 \cdot 18 \cdot 24 = {72^2}\), hay \(abc = 72\).

 Vậy \({V_{S.ABC}} = 6\sqrt 3 \).