Giải bài 11 trang 95 sách bài tập toán 11 – Chân trời sáng tạo tập 1

Chứng minh rằng phương trình ${x^5} + 3{x^2} – 1 = 0$ trong mỗi khoảng $\left( { – 2; – 1} \right);\left( { – 1;0} \right)$ và $\left( {0;1} \right)$ đều có ít nhất một nghiệm.

Đề bài

Chứng minh rằng phương trình ${x^5} + 3{x^2} – 1 = 0$ trong mỗi khoảng $\left( { – 2; – 1} \right);\left( { – 1;0} \right)$ và $\left( {0;1} \right)$ đều có ít nhất một nghiệm.

Phương pháp giải – Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về ứng dụng tính liên tục của hàm số vào xét sự tồn tại nghiệm của phương trình để chứng minh: Nếu hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ và $f\left( a \right).f\left( b \right) < 0$ thì luôn tồn tại ít nhất một điểm $c \in \left( {a;b} \right)$ sao cho $f\left( c \right) = 0$ .

Lời giải chi tiết

Xét hàm số $f\left( x \right) = {x^5} + 3{x^2} – 1$ , hàm số f(x) liên tục trên $\mathbb{R}$ nên hàm số f(x) liên tục trên $\left( { – 2; – 1} \right);\left( { – 1;0} \right)$ và $\left( {0;1} \right)$ .

Ta có: $f\left( { – 2} \right) = – 21,f\left( { – 1} \right) = 1,f\left( 0 \right) = – 1;f\left( 1 \right) = 3$

Vì $f\left( { – 2} \right).f\left( { – 1} \right) = – 21 < 0$ nên phương trình $f\left( x \right) = 0$ có nghiệm thuộc $\left( { – 2; – 1} \right)$

Vì $f\left( { – 1} \right).f\left( 0 \right) = – 1 < 0$ nên phương trình $f\left( x \right) = 0$ có nghiệm thuộc $\left( { – 1;0} \right)$

Vì $f\left( 0 \right).f\left( 1 \right) = – 3 < 0$ nên phương trình $f\left( x \right) = 0$ có nghiệm thuộc $\left( {0;1} \right)$

Vậy trong mỗi khoảng $\left( { – 2; – 1} \right);\left( { – 1;0} \right)$ và $\left( {0;1} \right)$ , phương trình ${x^5} + 3{x^2} – 1 = 0$ đều có ít nhất một nghiệm.