Bài 2 trang 65 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Đề bài

Giải các phương trình sau:

a) \(\dfrac{x}{{x – 2}} + \dfrac{{x + 3}}{{x – 1}} = 6\) 

b) \(\dfrac{{2x – 1}}{x} + 3 = \dfrac{{x + 3}}{{2x – 1}}\)

c) \(\dfrac{{{t^2}}}{{t – 1}} + t = \dfrac{{2{t^2} + 5t}}{{t + 1}}\)   

d) \(\dfrac{{x – 2}}{{x + 3}} + 1 = \dfrac{{3x – 1}}{{x – 3}}\)

Lời giải chi tiết

a) \(\dfrac{x}{{x – 2}} + \dfrac{{x + 3}}{{x – 1}} = 6\)

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x – 2 \ne 0\\x – 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\x \ne 1\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}\dfrac{x}{{x – 2}} + \dfrac{{x + 3}}{{x – 1}} = 6\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x\left( {x – 1} \right)}}{{\left( {x – 2} \right)\left( {x – 1} \right)}} + \dfrac{{\left( {x + 3} \right)\left( {x – 2} \right)}}{{\left( {x – 2} \right)\left( {x – 1} \right)}} = \dfrac{{6\left( {x – 2} \right)\left( {x – 1} \right)}}{{\left( {x – 2} \right)\left( {x – 1} \right)}}\\ \Leftrightarrow {x^2} – x + {x^2} + x – 6 = 6\left( {{x^2} – 3x + 2} \right)\\ \Leftrightarrow 2{x^2} – 6 – 6{x^2} + 18x – 12 = 0\\ \Leftrightarrow  – 4{x^2} + 18x – 18 = 0\\ \Leftrightarrow 2{x^2} – 9x + 9 = 0;\\\,\,a = 2;b =  – 9;c = 9\\\Delta  = {\left( { – 9} \right)^2} – 4.2.9 = 9 > 0;\sqrt \Delta   = 3\end{array}\)

Khi đó phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

\({x_1} = \dfrac{{9 + 3}}{4} = 3\left( {tm} \right);\)

\({x_2} = \dfrac{{9 – 3}}{4} = \dfrac{3}{2}\left( {tm} \right)\)

Vậy phương trình có 2 nghiệm \({x_1} = 3;{x_2} = \dfrac{3}{2}.\)

b) Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\2x – 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}\dfrac{{2x – 1}}{x} + 3 = \dfrac{{x + 3}}{{2x – 1}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {2x – 1} \right)}^2}}}{{x\left( {2x – 1} \right)}} + \dfrac{{3x\left( {2x – 1} \right)}}{{x\left( {2x – 1} \right)}} = \dfrac{{\left( {x + 3} \right)x}}{{x\left( {2x – 1} \right)}}\\ \Leftrightarrow {\left( {2x – 1} \right)^2} + 3x\left( {2x – 1} \right) – \left( {x + 3} \right)x = 0\\ \Leftrightarrow 4{x^2} – 4x + 1 + 6{x^2} – 3x – {x^2} – 3x = 0\\ \Leftrightarrow 9{x^2} – 10x + 1 = 0;\\a = 9;b =  – 10;c = 1\\Do\,\,a + b + c = 9 – 10 + 1 = 0\end{array}\)

Nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt là: \({x_1} = 1\left( {tm} \right);{x_2} = \dfrac{c}{a} = \dfrac{1}{9}\left( {tm} \right)\)

Vậy phương trình có 2 nghiệm là: \({x_1} = 1;{x_2} = \dfrac{1}{9}.\)

c) \(\dfrac{{{t^2}}}{{t – 1}} + t = \dfrac{{2{t^2} + 5t}}{{t + 1}}\)

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}t – 1 \ne 0\\t + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t \ne 1\\t \ne  – 1\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}\dfrac{{{t^2}}}{{t – 1}} + t = \dfrac{{2{t^2} + 5t}}{{t + 1}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{t^2}\left( {t + 1} \right)}}{{\left( {t – 1} \right)\left( {t + 1} \right)}} + \dfrac{{t\left( {t – 1} \right)\left( {t + 1} \right)}}{{\left( {t – 1} \right)\left( {t + 1} \right)}} = \dfrac{{\left( {2{t^2} + 5t} \right).\left( {t – 1} \right)}}{{\left( {t + 1} \right)\left( {t – 1} \right)}}\\ \Leftrightarrow {t^2}\left( {t + 1} \right) + t\left( {t – 1} \right)\left( {t + 1} \right) – \left( {2{t^2} + 5t} \right).\left( {t – 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {t^3} + {t^2} + t\left( {{t^2} – 1} \right) – \left( {2{t^3} – 2{t^2} + 5{t^2} – 5t} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {t^3} + {t^2} + {t^3} – t – 2{t^3} – 3{t^2} + 5t = 0\\ \Leftrightarrow  – 2{t^2} + 4t = 0\\ \Leftrightarrow t\left( { – 2t + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\ – 2t + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\left( {tm} \right)\\t = 2\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy phương trình có hai nghiệm là: \({t_1} = 0;{t_2} = 2.\)

d) Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3 \ne 0\\x – 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne  – 3\\x \ne 3\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}\dfrac{{x – 2}}{{x + 3}} + 1 = \dfrac{{3x – 1}}{{x – 3}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {x – 2} \right)\left( {x – 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x – 3} \right)}} + \dfrac{{\left( {x + 3} \right)\left( {x – 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x – 3} \right)}} = \dfrac{{\left( {3x – 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x – 3} \right)}}\\ \Leftrightarrow \left( {x – 2} \right)\left( {x – 3} \right) + \left( {x + 3} \right)\left( {x – 3} \right) = \left( {3x – 1} \right)\left( {x + 3} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} – 5x + 6 + {x^2} – 9 – \left( {3{x^2} + 8x – 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} – 5x + 6 + {x^2} – 9 – 3{x^2} – 8x + 3 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 13x = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x + 13} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x + 13 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\left( {tm} \right)\\x =  – 13\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy phương trình có 2 nghiệm là \({x_1} = 0;{x_2} =  – 13.\)

Sachgiaihay.com