Giải mục 2 trang 35, 36 SGK Toán 11 tập 2 – Cùng khám phá

Hoạt động 3

Cho hàm số $f(x) = \frac{{{x^2}}}{4}$ có đồ thị là đường parabol (P) như Hình 7.4 . Gọi M là điểm thuộc (P) có hoành độ ${x_0} = 2$.

a, Tính ${f’}(2)$

b, Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm M và có hệ số góc bằng ${f’}(2)$

c, Vẽ đường thẳng $\Delta$ và (P) trên cùng một mặt phẳng tọa độ. Có nhận xét gì về $\Delta$ và (P).

Phương pháp giải:

a, Áp dụng định nghĩa tính ${f’}(2)$

b, Phương trình đường thẳng đi qua điểm M có hoành độ ${x_0}$ và hệ số góc ${f’}(2)$ là

$y = {f’}({x_0}).(x – {x_0})$

c, Dựa vào câu b để vẽ đường thẳng $\Delta$

Lời giải chi tiết:

a, Ta có: ${f’}(2) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f(x) – f(2)}}{{x – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\frac{{{x^2}}}{4} – 1}}{{x – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} – 4}}{{4(x – 2)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{(x – 2).(x + 2)}}{{4(x – 2)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x + 2}}{4} = 1$

b, Điểm M có tọa độ M(2;1)

Phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm M(2,1) có hệ số góc ${f’}(2)$ là:

y = 1.( x-2)+1= x-1

Vậy phương trình đường thẳng $\Delta$ là: y= x-1

Luyện tập 2

Cho hàm số $y =  – 3{x^3}$ có đồ thị ( C ). Tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M (-1,3)

Phương pháp giải:

Hệ số góc của tiếp tuyến là đạo hàm của hàm số tại điểm -1

Lời giải chi tiết:

Ta có: ${f’}( – 1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – 1} \frac{{f(x) – f( – 1)}}{{x – ( – 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – 1} \frac{{ – 3{x^3} – 3}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – 1} \frac{{ – 3.({x^3} + 1)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – 1} ( – 3).({x^2} – x + 1) =  – 9$

Vậy hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M(-1,3) là -9.

Hoạt động 4

Cho hàm số $f(x) = {x^2} + 1$có đồ thị parabol (P) và điểm M(1,2) thuộc (P). Gọi $\Delta$là tiếp tuyến của (P) tại M. Hãy viết phương trình $\Delta$.

Phương pháp giải:

Hệ số góc của tiếp tuyến là đạo hàm của hàm số tại điểm 1

Phương trình tiếp tuyến của đường thẳng có hệ số góc k tại điểm $M({x_0};{y_0})$ là:

$y = k.(x – {x_0}) + {y_0}$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $y'(1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x) – f(1)}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + 1 – 2}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (x + 1) = 2$

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(1,2) có hệ số góc k=2 là:

y = 2.( x -1)+2=2x

Luyện tập 3

Cho parabol (P) $y = {x^2} + 2x – 3$ và điểm M thuộc (P) có hoành độ ${x_0} =  – 2$

a, Tính ${y’}( – 2)$

b, Viết phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm M.

Phương pháp giải:

a, Sử dụng định nghĩa để tìm đạo hàm của hàm số tại điểm -2

b, Sử dụng công thức tiếp tuyến $y = {f’}({x_0}).(x – {x_0}) + f({x_0})$

Lời giải chi tiết:

a, Ta có: $y'( – 2) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – 2} \frac{{f(x) – f( – 2)}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – 2} \frac{{{x^2} + 2x – 3 – ( – 3)}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – 2} \frac{{{x^2} + 2x}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – 2} \frac{{x.(x + 2)}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – 2} x =  – 2$

b, Ta có: ${x_0} =  – 2 \Rightarrow f({x_0}) = {( – 2)^2} + 2.( – 2) – 3 =  – 3$

Phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm M (-2, -3) là:

y = -2. (x + 2) -3= -2x -7.