Giải bài 2.20 trang 38 Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức

Đề bài

Đặt ${S_n} = \frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{3.5}} + … + \frac{1}{{(2n – 1)(2n + 1)}}$

a) Tính ${S_1},{S_2},{S_3}$

b) Dự đoán công thức tính tổng ${S_n}$ và chứng minh nó bằng quy nạp.

Lời giải chi tiết

a)

$\begin{array}{l}{S_1} = \frac{1}{{1.3}} = \frac{1}{3}\\{S_2} = \frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{3.5}} = \frac{2}{5}\\{S_3} = \frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{3.5}} + \frac{1}{{5.7}} = \frac{3}{7}\end{array}$

b) Dự đoán ${S_n} = \frac{n}{{2n + 1}}$ với mọi số tự nhiên $n \ge 1$ (6)

Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Với $n = 1$ ta có ${S_1} = \frac{1}{3}$

Vậy (*) đúng với $n = 1$

Giải sử (*) đúng với $n = k$ tức là ta có ${S_k} = \frac{k}{{2k + 1}}$

Ta chứng minh (*) đúng với $n = k + 1$ tức là chứng minh  ${S_{k + 1}} = \frac{{k + 1}}{{2(k + 1) + 1}}$

Thật vậy, ta có

$\begin{array}{l}{S_{k + 1}} = \frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{3.5}} + … + \frac{1}{{(2k – 1)(2k + 1)}} + \frac{1}{{(2k + 1)(2k + 3)}}\\ = \frac{k}{{2k + 1}} + \frac{1}{{(2k + 1)(2k + 3)}} = \frac{{k(2k + 3) + 1}}{{(2k + 1)(2k + 3)}} = \frac{{2{k^2} + 3k + 1}}{{(2k + 1)(2k + 3)}}\\ = \frac{{(k + 1)(2k + 1)}}{{(2k + 1)(2k + 3)}} = \frac{{k + 1}}{{2k + 3}}\end{array}$

Vậy (*) đúng với mọi số tự nhiên $n \ge 1$.