1. Dạng 1: Tính nhanh dãy phân số có quy luật

Loại 1: Dãy phân số có quy luật mẫu số sau gấp mẫu số trước một số không đổi

Ví dụ 1:

Tính giá trị $A = \frac{1}{2}\,\, + \,\,\frac{1}{4}\,\, + \,\,\frac{1}{8}\,\, + \,\,\frac{1}{{16}}\,\, + \,\,\frac{1}{{32}}\,\, + \,\,\frac{1}{{64}}$

Phân tích: Nhận xét thấy mẫu số phân số sau hơn mẫu số phân số trước 2 lần. Như vậy khi ta nhân thêm 2 vào thì phân số phía sau sẽ trở thành phân số phía trước.

Bài giải:

$A = \frac{1}{2}\,\, + \,\,\frac{1}{4}\,\, + \,\,\frac{1}{8}\,\, + \,\,\frac{1}{{16}}\,\, + \,\,\frac{1}{{32}}\,\, + \,\,\frac{1}{{64}}$                      (1)

$2 \times A = 2 \times \left( {\frac{1}{2}\,\, + \,\,\frac{1}{4}\,\, + \,\,\frac{1}{8}\,\, + \,\,\frac{1}{{16}}\,\, + \,\,\frac{1}{{32}}\,\, + \,\,\frac{1}{{64}}} \right)$

$= \frac{2}{2}\,\, + \,\,\frac{2}{4}\,\, + \,\,\,\frac{2}{8}\,\, + \,\,\frac{2}{{16}}\,\, + \,\,\frac{2}{{32}}\,\, + \,\,\frac{2}{{64}}$

$= 1\,\, + \,\,\frac{1}{2}\, + \,\,\frac{1}{4}\,\, + \,\,\frac{1}{8}\,\, + \,\,\frac{1}{{16}}\,\, + \,\,\frac{1}{{32}}\,\,\,$                  (2)

Nhìn vào (1) và (2), chúng ta nhận thấy ở A và 2 x A có nhiều phân số giống nhau. Nếu ta trừ hai vế cho nhau thì được:

 $2 \times A – A$= $\left( {1\,\, + \,\,\frac{1}{2}\, + \,\,\frac{1}{4}\,\, + \,\,\frac{1}{8}\,\, + \,\,\frac{1}{{16}}\,\, + \,\,\frac{1}{{32}}\,\,\,} \right)\,\, – \,\,$$\left( {\frac{1}{2}\,\, + \,\,\frac{1}{4}\,\, + \,\,\frac{1}{8}\,\, + \,\,\frac{1}{{16}}\,\, + \,\,\frac{1}{{32}}\,\, + \,\,\frac{1}{{64}}} \right)$

  $A =$ 1 – $\frac{1}{{64}}$= $\frac{{63}}{{64}}$

Ví dụ 2:

Tính $A = \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{27}} + \frac{1}{{81}} + \frac{1}{{243}} + \frac{1}{{729}}$

Phân tích: Ở bài này, mẫu số sau gấp mẫu số trước 3 lần khi đó ta nhân biểu thức với 3 rồi trừ hai vế để triệt tiêu các phân số ở giữa. 

Giải: 

Ta có $A = \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{27}} + \frac{1}{{81}} + \frac{1}{{243}} + \frac{1}{{729}}$

$3 \times A = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{27}} + \frac{1}{{81}} + \frac{1}{{243}}$

Trừ hai vế ta có:

$3 \times A – A = (1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{27}} + \frac{1}{{81}} + \frac{1}{{243}}) – (\frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{27}} + \frac{1}{{81}} + \frac{1}{{243}} + \frac{1}{{729}})$

$2 \times A = 1 – \frac{1}{{729}} = \frac{{728}}{{729}}$

$A = \frac{{728}}{{729}}:2 = \frac{{364}}{{729}}$

Ví dụ 3:

Tính giá trị $A = \frac{2}{3} + \frac{2}{6} + \frac{2}{{12}} + \frac{2}{{24}} + ….. + \frac{2}{{768}}$

Ta thấy mẫu số của phân số sau gấp 2 lần mẫu số của phân số trước.

Ta có $2 \times A = 2 \times (\frac{2}{3} + \frac{2}{6} + \frac{2}{{12}} + \frac{2}{{24}} + …. + \frac{2}{{768}})$

 $2 \times A = \frac{4}{3} + \frac{2}{3} + \frac{2}{6} + \frac{2}{{12}} + …. + \frac{2}{{384}}$

$2 \times A – A = \left( {\frac{4}{3} + \frac{2}{3} + \frac{2}{6} + \frac{2}{{12}} + …. + \frac{2}{{384}}} \right) – \left( {\frac{2}{3} + \frac{2}{6} + \frac{2}{{12}} + \frac{2}{{24}} + …. + \frac{2}{{768}}} \right)$

$A = \frac{4}{3} – \frac{2}{{768}} = \frac{{511}}{{384}}$

Loại 2: Tính tổng của nhiều phân số có tử số là n (n > 0); mẫu số là tích của 2 thừa số có hiệu bằng n và thừa số thứ 2 của mẫu số phân số liền tr­ước là thừa số thứ nhất của mẫu số phân số liền sau

Ví dụ 1: 

$A = \frac{1}{{2\,\, \times \,\,3}}\,\, + \,\,\frac{1}{{3\, \times \,4}}\,\, + \,\,\frac{1}{{4\, \times \,5}}\,\, + \,\frac{1}{{5\, \times \,6}}$

$A = \frac{{3\, – \,2}}{{2\,\, \times \,\,3}}\,\, + \,\,\frac{{4\, – \,3}}{{3\, \times \,4}}\,\, + \,\,\frac{{5\, – \,4}}{{4\, \times \,5}}\,\, + \,\frac{{6\, – \,5}}{{5\, \times \,6}}$

 = $\frac{3}{{2\,\, \times \,\,3}}\,\, – \,\,\frac{2}{{2\, \times \,3}}\,\, + \,\,\frac{4}{{3\, \times \,4}}\,\, – \frac{3}{{3\, \times \,4}} + \,\,\frac{5}{{4\, \times \,5}}\,\, – \,\,\frac{4}{{4\, \times \,5}} + \,\frac{6}{{5\, \times \,6}}\,\, – \,\,\frac{5}{{5\, \times \,6}}$

=  $\frac{1}{2}\,\, – \,\frac{1}{3}\,\, + \,\,\frac{1}{3}\,\, – \,\,\frac{1}{4}\,\, + \,\,\frac{1}{4}\,\, – \,\,\frac{1}{5}\,\, + \,\,\frac{1}{5}\,\, – \,\frac{1}{6}$

= $\frac{1}{2} – \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$

Ví dụ 2:

$B = \frac{3}{{2 \times 5}} + \frac{3}{{5 \times 8}} + \frac{3}{{8 \times 11}} + \frac{3}{{11 \times 14}}$

$B = \frac{{5 – 2}}{{2 \times 5}} + \frac{{8 – 5}}{{5 \times 8}} + \frac{{11 – 8}}{{8 \times 11}} + \frac{{14 – 11}}{{11 \times 14}}$

$= \frac{5}{{2 \times 5}} – \frac{2}{{2 \times 5}} + \frac{8}{{5 \times 8}} – \frac{5}{{5 \times 8}} + \frac{{11}}{{8 \times 11}} – \frac{8}{{8 \times 11}} + \frac{{14}}{{11 \times 14}} – \frac{{11}}{{11 \times 14}}$

$= \frac{1}{2} – \frac{1}{5} + \frac{1}{5} – \frac{1}{8} + \frac{1}{8} – \frac{1}{{11}} + \frac{1}{{11}} – \frac{1}{{14}}$

$= \frac{1}{2} – \frac{1}{{14}} = \frac{3}{7}$

Bài tập áp dụng: