Lý thuyết Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0)

Dạng 1: Xác định hệ số góc của đường thẳng

Phương pháp:

Đường thẳng $(d)$ có phương trình $y = ax + b\,\left( {a \ne 0} \right)$ có $a$ là hệ số góc.

Ví dụ: Hệ số góc của đường thẳng $y=-2x+1$ là $a=-2$

Dạng 2: Tính góc tạo bởi tia $Ox$ và đường thẳng $(d).$

Phương pháp:

Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi tia $Ox$ và $d.$ Ta có: $a = \tan \alpha$

Ví dụ: Góc tạo bởi tia $Ox$ và đường thẳng $(d):y=\sqrt 3 x+1$ là $\alpha$

Khi đó: $\tan \alpha=\sqrt 3$ nên $\alpha =60^0$

Dạng 3. Viết phương trình đường thẳng hoặc tìm tham số m khi biết hệ số góc

Phương pháp:

Gọi phương trình  đường thẳng cần tìm là $y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)$.

Dựa vào lý thuyết về hệ số góc để tìm $a$. Từ đó, sử dụng dữ kiện còn lại của đề bài để tìm $b$.

4. Bài tập về hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0)

Bài 1. Cho đường thẳng $d$:$y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)$. Hệ số góc của đường thẳng $d$ là 

A. $– a$

B. $a$

C. $\dfrac{1}{a}$

D. $b$

Lời giải:

Đường thẳng $d$ có phương trình $y = ax + b\,\left( {a \ne 0} \right)$có $a$ là hệ số góc.

Chọn đáp án B.

Bài 2. Cho đường thẳng $d$:$y = ax + b\,\,\left( {a > 0} \right)$.  Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi tia $Ox$ và $d.$ Khẳng định nào dưới đây là đúng ?

A. $a =  – \tan \alpha$

B. $a = \tan \left( {180 – \alpha } \right)$

C. $a = \tan \alpha$

D. $a =  – \tan \left( {180^\circ  – \alpha } \right)$

Lời giải: Cho đường thẳng $d$ có phương trình $y = ax + b\,\left( {a \ne 0} \right)$.

Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi tia $Ox$ và $d.$ Ta có: $a = \tan \alpha$

Chọn đáp án C.

Bài 3. Cho đường thẳng $d$:$y = 2x + 1$. Hệ số góc của đường thẳng $d$ là

A. $– 2$

B. $\dfrac{1}{2}$

C. $1$

D. $2$

Lời giải: Đường thẳng $d$:$y = 2x + 1$ có hệ số góc là $a = 2$.

Chọn đáp án D.

Bài 4. Cho đường thẳng $d:$ $y = \left( {m + 2} \right)x – 5$ đi qua điểm $A\left( { – 1;2} \right)$. Hệ số góc của đường thẳng $d$ là

A. $1$

B. $11$

C. $-7$

D. $7$

Lời giải: Thay tọa độ điểm $A$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được $\left( {m + 2} \right).\left( { – 1} \right) – 5 = 2 \Leftrightarrow -m-2=7\Leftrightarrow m = -9$

Suy ra $d:y = -7x – 5$

Hệ số góc của đường thẳng $d$ là $k = -7$.

Chọn đáp án C.

Bài 5. Tìm hệ số góc của đường thẳng $d$ biết $d$ đi qua gốc tọa độ $O$ và điểm $M\left( {1;3} \right)$

A. $– 2$

B. $3$

C. $1$

D. $2$

Lời giải:

Gọi phương trình đường thẳng $d$cần tìm là $y = ax + b\,$ $\left( {a \ne 0} \right)$

Vì $d$ đi qua gốc tọa độ nên $b = 0$$\Rightarrow y = ax$

Thay tọa độ điểm $M$ vào phương trình $y = ax$ ta được $3 = 1.a \Rightarrow a = 3$ (TM)

Nên phương trình đường thẳng $d:y = 3x$

Hệ số góc của $d$ là $k = 3.$

Chọn đáp án B.

Bài 6. Cho đường thẳng $d$: $y = \left( {m + 2} \right)x – 5$ có hệ số góc là $k =  – 4$. Tìm $m$

A. $m =  – 4$

B. $m =  – 6$

C. $m =  – 5$

D. $m =  – 3$

Lời giải: Hệ số góc của đường thẳng $d$ là $k = m + 2$  $(m \ne -2)$

Từ giả thiết suy ra $m + 2 =  – 4 \Leftrightarrow m =  – 6(TM)$.

Chọn đáp án B.

Bài 7. Tính góc tạo bởi tia $Ox$ và đường thẳng $y = \sqrt 3 x – 6$

A. $45^\circ$

B. $30^\circ$

C. $60^\circ$

D. $90^\circ$

Lời giải: Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi tia $Ox$ và $d.$ Ta có $\tan \alpha  = \sqrt 3  \Rightarrow \alpha  = 60^\circ$

Chọn đáp án C.

Bài 8. Viết phương trình đường thẳng $d$ biết $d$ di qua $B( – 1;1)$ và tạo với trục $Ox$  một góc bằng $45^\circ$.

A. $y = x – 2$

B. $y = x + 2$

C. $y =  – x – 2$

D. $y = x + 1$

Lời giải: Gọi phương trình đường thẳng $d:y = ax + b$ $(a\ne 0)$

Vì góc tạo bởi đường thẳng $d$ và trục $Ox$ là $45^\circ$ nên $a = \tan 45^\circ  = 1$

$\Rightarrow y = x + b$

Thay tọa độ điểm $B$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta có $– 1 + b = 1 \Rightarrow b = 2$

Nên $d:y = x + 2$.

Chọn đáp án B.