Giải bài 5 trang 23 SGK Toán 8 tập 1 – Cánh diều

Đề bài

Chứng minh giá trị của mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x:

a) \(C = {\left( {3{\rm{x}} – 1} \right)^2} + {\left( {3{\rm{x}} + 1} \right)^2} – 2\left( {3{\rm{x}} – 1} \right)\left( {3{\rm{x}} + 1} \right)\)

b) \(D = {\left( {x + 2} \right)^3} – {\left( {x – 2} \right)^3} – 12\left( {{x^2} + 1} \right)\)

c) \(E = \left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} – 3{\rm{x}} + 9} \right) – \left( {x – 2} \right)\left( {{x^2} + 2{\rm{x}} + 4} \right)\)

d) \(G = \left( {2{\rm{x}} – 1} \right)\left( {4{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}} + 1} \right) – 8\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} – 2{\rm{x}} + 4} \right)\)

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}C = {\left( {3{\rm{x}} – 1} \right)^2} + {\left( {3{\rm{x}} + 1} \right)^2} – 2\left( {3{\rm{x}} – 1} \right)\left( {3{\rm{x}} + 1} \right)\\C = {\left( {3{\rm{x}} – 1} \right)^2} – 2\left( {3{\rm{x}} – 1} \right)\left( {3{\rm{x}} + 1} \right) + {\left( {3{\rm{x}} + 1} \right)^2}\\C = {\left( {3{\rm{x}} – 1 – 3{\rm{x}} – 1} \right)^2}\\C = {\left( { – 2} \right)^2} = 4\end{array}\)

Vậy giá trị của biểu thức C = 4 không phụ thuộc vào biến x

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}D = {\left( {x + 2} \right)^3} – {\left( {x – 2} \right)^3} – 12\left( {{x^2} + 1} \right) \\D = \left( {x + 2 – x + 2} \right)\left[ {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + \left( {x + 2} \right)\left( {x – 2} \right) + {{\left( {x – 2} \right)}^2}} \right] – 12{{\rm{x}}^2} – 12\\D = 4.\left( {{x^2} + 4{\rm{x}} + 4 + {x^2} – 4 + {x^2} – 4{\rm{x}} + 4} \right) – 12{{\rm{x}}^2} – 12\\D = 4.\left( {3{{\rm{x}}^2} + 4} \right) – 12{{\rm{x}}^2} – 12\\D = 12{{\rm{x}}^2} + 16 – 12{{\rm{x}}^2} – 12 = 4\end{array}\)

Vậy giá trị của biểu thức D = 4 không phụ thuộc vào biến x

c) Ta có:

\(\begin{array}{l}E = \left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} – 3{\rm{x}} + 9} \right) – \left( {x – 2} \right)\left( {{x^2} + 2{\rm{x}} + 4} \right)\\E = \left( {{x^3} + {3^3}} \right) – \left( {{x^3} – {2^2}} \right)\\E = {x^3} + 27 – {x^3} + 8 = 35\end{array}\)

Vậy giá trị của biểu thức E = 35 không phụ thuộc vào biến x

d) Ta có:

\(\begin{array}{l}G = \left( {2{\rm{x}} – 1} \right)\left( {4{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}} + 1} \right) – 8\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} – 2{\rm{x}} + 4} \right)\\G = \left[ {{{\left( {2{\rm{x}}} \right)}^3} – {1^3}} \right] – 8\left( {{x^3} + {2^3}} \right)\\G = 8{{\rm{x}}^3} – 1 – 8{{\rm{x}}^3} – 64 =  – 65\end{array}\)

Vậy giá trị của biểu thức G = -65 không phụ thuộc vào biến x.