Giải bài 27 trang 46 sách bài tập toán 7 – Cánh diều

Đề bài

Cho hai đa thức: \(F(x) = {x^4} + {x^3} – 3{x^2} + 2x – 9\) và \(G(x) =  – {x^4} + 2{x^2} – x + 8\)

a) Tìm đa thức H(x) sao cho H(x) = F(x) + G(x)

b) Tìm bậc của đa thức H(x)

c) Kiểm tra xem x = 0, x = 1, x = −1 có là nghiệm của đa thức H(x) hay không

d) Tìm đa thức K(x) sao cho H(x) – K(x) = \(\frac{1}{2}{x^2}\)

Lời giải chi tiết

a) \(H(x) = F(x) + G(x) = \left( {{x^4} + {x^3} – 3{x^2} + 2x – 9} \right) + \left( { – {x^4} + 2{x^2} – x + 8} \right)\)

                               \( = {x^4} + {x^3} – 3{x^2} + 2x – 9 – {x^4} + 2{x^2} – x + 8\) \( = {x^3} – {x^2} + x – 1\)

Vậy \(H(x) = {x^3} – {x^2} + x – 1\)

b) Bậc của H(x) là 3

c) Ta có:

\(H(0) = {0^3} – {0^2} + 0 – 1 =  – 1 \ne 0 \Rightarrow x = 0\) không là nghiệm của H(x)

\(H(1) = {1^3} – {1^2} + 1 – 1 = 1 – 1 + 1 – 1 = 0 \Rightarrow x = 1\) là nghiệm của H(x)

\(H( – 1) = {( – 1)^3} – {( – 1)^2} + ( – 1) – 1 =  – 1 – 1 – 1 – 1 =  – 4 \ne 0 \Rightarrow x =  – 1\) không là nghiệm của H(x)

d) H(x) – K(x) = \(\frac{1}{2}{x^2}\) \( \Rightarrow K(x) = H(x) – \frac{1}{2}{x^2} = ({x^3} – {x^2} + x – 1) – \frac{1}{2}{x^2}\)

                                         \( = {x^3} – {x^2} + x – 1 – \frac{1}{2}{x^2} = {x^3} – \frac{3}{2}{x^2} + x – 1\)

Vậy \(K(x) = {x^3} – \frac{3}{2}{x^2} + x – 1\)