Giải bài 2.12 trang 37 Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức

Đề bài

Biết hệ số của \({x^2}\) trong khai triển của \({(1 – 3x)^n}\) là 90. Tìm n.

Lời giải chi tiết

Số hạng chứa \({x^k}\) trong khai triển của \({(1 – 3x)^n}\) hay \({( – 3x + 1)^n}\) là \(C_n^{n – k}{( – 3x)^k}{1^{n – k}}\)

Số hạng chứa \({x^2}\) ứng với \(k = 2\), tức là số hạng \(C_n^{n – 2}{( – 3x)^2}\) hay \(9.C_n^{n – 2}\)

Do đó \(9.C_n^{n – 2} = 90 \Leftrightarrow C_n^{n – 2} = 10 \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n – 2} \right)!(n – (n – 2))!}} = 10\)

 \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n – 2} \right)!2!}} = 10 \Leftrightarrow \frac{{n(n – 1)}}{2} = 10\\ \Leftrightarrow {n^2} – n – 20 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 5\\n =  – 4\;(L)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(n = 5\) thì hệ số của \({x^2}\) trong khai triển của \({(1 – 3x)^n}\) là 90.