Giải bài 12 trang 96 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức

Đề bài

Viết khai triển nhị thức Newton của \({(2x – 1)^n}\), biết n là số tự nhiên thỏa mãn \(A_n^2 + 24C_n^1 = 140\).

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(A_n^2 + 24C_n^1 = \frac{{n!}}{{\left( {n – 2} \right)!}} + 24.\frac{{n!}}{{1!\left( {n – 1} \right)!}} = n(n – 1) + 24n\)

\( \Leftrightarrow {n^2} + 23n = 140 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 5\\n =  – 28\;(L)\end{array} \right.\)

Thay \(a = 2x,b =  – 1\) trong công thức khai triển của \({(a + b)^5}\), ta được:

\(\begin{array}{l}{(2x – 1)^5} = {\left( {2x} \right)^5} + 5.{\left( {2x} \right)^4}.( – 1) + 10.{\left( {2x} \right)^3}.{( – 1)^2}\\ + 10.{\left( {2x} \right)^2}.{( – 1)^3} + 5.(2x).{( – 1)^4} + {( – 1)^5}\\ = 32{x^5} – 80{x^4} + 80{x^3} – 40{x^2} + 10x – 1\end{array}\)