Bài 5 trang 56 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $A{\rm{D}}$. Biết $AB = CD = 2a$ và $MN = a\sqrt 3$. Tính góc giữa $AB$ và $C{\rm{D}}$.

Lời giải chi tiết

Gọi $P$ là trung điểm của $AC$.

Ta có: $M$ là trung điểm của $BC$

$P$ là trung điểm của $AC$

$\Rightarrow MP$ là đường trung bình của tam giác $ABC$

$\Rightarrow MP\parallel AB,MP = \frac{1}{2}AB = a$

$N$ là trung điểm của $A{\rm{D}}$

$P$ là trung điểm của $AC$

$\Rightarrow NP$ là đường trung bình của tam giác $AC{\rm{D}}$

$\Rightarrow NP\parallel C{\rm{D}},NP = \frac{1}{2}C{\rm{D}} = a$

Ta có: $MP\parallel AB,NP\parallel C{\rm{D}} \Rightarrow \left( {AB,C{\rm{D}}} \right) = \left( {MP,NP} \right)$

Xét tam giác $MNP$ có:

$\cos \widehat {MPN} = \frac{{M{P^2} + N{P^2} – M{N^2}}}{{2.MP.NP}} =  – \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {MPN} = {120^ \circ }$

Vậy $\left( {AB,C{\rm{D}}} \right) = {180^ \circ } – \widehat {MPN} = {60^ \circ }$.