Bài 15 trang 35 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Giải các phương trình sau:

a) ${\left( {\frac{1}{4}} \right)^{x – 2}} = \sqrt 8$;

b) ${9^{2x – 1}} = {81.27^x}$;

c) $2{\log _5}\left( {x – 2} \right) = {\log _5}9$;

d) ${\log _2}\left( {3{\rm{x}} + 1} \right) = 2 – {\log _2}\left( {x – 1} \right)$.

Lời giải chi tiết

a)

$\begin{array}{l}{\left( {\frac{1}{4}} \right)^{x – 2}} = \sqrt 8  \Leftrightarrow {\left( {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} \right)^{x – 2}} = {\left( {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{ – 3}}} \right)^{\frac{1}{2}}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{2x – 4}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ – \frac{3}{2}}}\\ \Leftrightarrow 2x – 4 =  – \frac{3}{2} \Leftrightarrow 2{\rm{x}} = \frac{5}{2} \Leftrightarrow {\rm{x}} = \frac{5}{4}\end{array}$

b) ${9^{2x – 1}} = {81.27^x} \Leftrightarrow {\left( {{3^2}} \right)^{2x – 1}} = {3^4}.{\left( {{3^3}} \right)^x} \Leftrightarrow {3^{4{\rm{x}} – 2}} = {3^{4 + 3{\rm{x}}}} \Leftrightarrow 4{\rm{x}} – 2 = 4 + 3{\rm{x}} \Leftrightarrow x = 6$.

c) $2{\log _5}\left( {x – 2} \right) = {\log _5}9$

ĐKXĐ: $x – 2 > 0 \Leftrightarrow x > 2$

$PT \Leftrightarrow {\log _5}{\left( {x – 2} \right)^2} = {\log _5}{3^2} \Leftrightarrow {\left( {x – 2} \right)^2} = {3^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x – 2 = 3\\x – 2 =  – 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5 (TMĐK) \\x =  – 1 (Loại) \end{array} \right.$

Vậy phương trình có nghiệm là $x = 5$.

d) ${\log _2}\left( {3{\rm{x}} + 1} \right) = 2 – {\log _2}\left( {x – 1} \right)$.

ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l}3{\rm{x}} + 1 > 0\\x – 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x >  – \frac{1}{3}\\x > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 1$

$\begin{array}{l}PT \Leftrightarrow {\log _2}\left( {3{\rm{x}} + 1} \right) + {\log _2}\left( {x – 1} \right) = 2 \Leftrightarrow {\log _2}\left( {3{\rm{x}} + 1} \right)\left( {x – 1} \right) = {\log _2}{2^2}\\ \Leftrightarrow \left( {3{\rm{x}} + 1} \right)\left( {x – 1} \right) = 4 \Leftrightarrow 3{{\rm{x}}^2} + x – 3{\rm{x}} – 1 = 4 \Leftrightarrow 3{{\rm{x}}^2} – 2{\rm{x}} – 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  – 1 (Loại) \\x = \frac{5}{3} (TMĐK)\end{array} \right.\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm là $x = \frac{5}{3}$.