Bài 2 trang 69 SGK Toán 11 tập 1 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Tính tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn sau:

a) $– \frac{1}{2} + \frac{1}{4} – \frac{1}{8} + … + {\left( { – \frac{1}{2}} \right)^n} + …$

b) $\frac{1}{4} + \frac{1}{{16}} + \frac{1}{{64}} + … + {\left( {\frac{1}{4}} \right)^n} + …$

Lời giải chi tiết

a) $– \frac{1}{2} + \frac{1}{4} – \frac{1}{8} + … + {\left( { – \frac{1}{2}} \right)^n} + …$

Tổng trên là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu ${u_1} =  – \frac{1}{2}$ và công bội $q =  – \frac{1}{2}$ nên: $– \frac{1}{2} + \frac{1}{4} – \frac{1}{8} + … + {\left( { – \frac{1}{2}} \right)^n} + … = \frac{{ – \frac{1}{2}}}{{1 – \left( { – \frac{1}{2}} \right)}} =  – \frac{1}{3}$

b) $\frac{1}{4} + \frac{1}{{16}} + \frac{1}{{64}} + … + {\left( {\frac{1}{4}} \right)^n} + …$

Tổng trên là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu ${u_1} = \frac{1}{4}$ và công bội $q = \frac{1}{4}$ nên: $\frac{1}{4} + \frac{1}{{16}} + \frac{1}{{64}} + … + {\left( {\frac{1}{4}} \right)^n} + … = \frac{{\frac{1}{4}}}{{1 – \frac{1}{4}}} = \frac{1}{3}$