Giải bài 2 trang 10 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo

Cho đường thẳng d cố định, xét phép biến hình f biến điểm M thuộc d thành chính nó và biến điểm M không thuộc d thành điểm M’ sao cho d là trung trực của đoạn MM’.

Đề bài

Cho đường thẳng d cố định, xét phép biến hình f biến điểm M thuộc d thành chính nó và biến điểm M không thuộc d thành điểm M’ sao cho d là trung trực của đoạn MM’. Hãy chứng minh f là một phép dời hình.

Phương pháp giải – Xem chi tiết

Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách (không làm thay đổi khoảng cách) giữa 2 điểm bất kì.

Lời giải chi tiết

Vui lòng nhập mật khẩu để tiếp tục

test321

• Phép biến hình f biến 1 điểm thuộc d thành chính nó, do đó khoảng cách giữa hai điểm bất kì thuộc d qua phép biến hình f được bảo toàn (1)

• Lấy hai điểm M, N bất kì không thuộc d.

Ta có M=f(M),N=f(N).

Gọi H, K lần lượt là trung điểm của MM’ và NN’.

Suy ra MH+MH=0;KN+KN=0

Ta có:

MN+MN=(MH+HK+KN)+(MH+HK+KN)=(MH+MH)+(KN+KN)+2HK

=0+0+2HK (do H, K lần lượt là trung điểm của MM’, NN’)

=2HK

\begin{array}{l}\overrightarrow {MN}  – \overrightarrow {{\rm{M’N’}}}  = \left( {\overrightarrow {HN}  – \overrightarrow {HM} } \right) – \left( {\overrightarrow {HN’}  – \overrightarrow {HM’} } \right)\\ = \overrightarrow {HN}  – \overrightarrow {HM}  – \overrightarrow {HN’}  + \overrightarrow {HM’}  = \left( {\overrightarrow {HN}  – \overrightarrow {HN’} } \right) + \left( {\overrightarrow {HM’}  – \overrightarrow {HM} } \right) = \overrightarrow {{\rm{N’N}}}  + \overrightarrow {MM’} \end{array}

Khi đó 

\begin{array}{l}{\overrightarrow {MN} ^2} – {\overrightarrow {{\rm{M’N’}}} ^2} = \left( {\overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {{\rm{M’N’}}} } \right)\left( {\overrightarrow {MN}  – \overrightarrow {{\rm{M’N’}}} } \right)\\ = 2\overrightarrow {HK} \left( {\overrightarrow {{\rm{N’N}}}  + \overrightarrow {MM’} } \right)\\ = 2\overrightarrow {HK} .\overrightarrow {{\rm{N’N}}}  + 2\overrightarrow {HK} .\overrightarrow {MM’}  = 2.0 + 2.0 = 0\end{array}

(do d là đường trung trực của MM’, NN’ nên \overrightarrow {MM’}  \bot \overrightarrow {HK} ;\,\,\overrightarrow {NN’}  \bot \overrightarrow {HK} )

Suy ra {\overrightarrow {MN} ^2} = {\overrightarrow {{\rm{M’N’}}} ^2}

Do đó MN{\rm{ }} = {\rm{ }}M’N'{\rm{ }}\left( 2 \right)

Từ (1) và (2) suy ra phép biến hình f bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Vậy f là một phép dời hình.

TẢI APP ĐỂ XEM OFFLINE