Giải bài 2.14 trang 32 SGK Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức

Đề bài

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}y – 2x \le 2\\y \le 4\\x \le 5\\x + y \ge  – 1\end{array} \right.$ trên mặt phẳng tọa độ.

Từ đó tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F\left( {x;y} \right) =  – x – y$ với $\left( {x;y} \right)$ thỏa mãn hệ trên.

Lời giải chi tiết

Bước 1: Vẽ đường thẳng $d_1: y-2x=2$ đi qua (0;2) và (-1;0). 

Lấy điểm O(0;0) không thuộc $d_1$. Vì 0-2.0=0<2 nên O thuộc miền nghiệm

Miền nghiệm của BPT $y – 2x \le 2$ là nửa mp bờ $d_1$, chứa điểm O.

Bước 2: Vẽ đường thẳng $d_2: y=4$ đi qua (0;4) và (1;4). 

Lấy điểm O(0;0) không thuộc $d_2$. Vì 0<4 nên O thuộc miền nghiệm.

Miền nghiệm của BPT $y \le 4$ là nửa mp bờ $d_2$, chứa điểm O.

Bước 3: Vẽ đường thẳng $d_3: x=5$ đi qua (5;0) và (5;1). 

Lấy điểm O(0;0) không thuộc $d_3$. Vì 0<5 nên O thuộc miền nghiệm

Miền nghiệm của BPT $x \le 5$ là nửa mp bờ $d_3$, chứa điểm O.

Bước 4: Vẽ đường thẳng $d_4: x + y = – 1$ đi qua (-1;0) và (0;-1). 

Lấy điểm O(0;0) không thuộc $d_4$. Vì 0+0=0>-1 nên O thuộc miền nghiệm.

Miền nghiệm của BPT $x + y \ge  – 1$ là nửa mp bờ $d_4$, chứa điểm O.

Miền biểu diễn nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác ABCD với

A(1;4); B(5;4), C(5;-6); D(-1;0).

Giá trị F tại các điểm A, B, C, D lần lượt là:

$F\left( {1;4} \right) =  – 1 – 4 =  – 5$

$F\left( {5;4} \right) =  – 5 – 4 =  – 9$

$F\left( {5;-6} \right) =  – 5 – (-6) =  1$

$F\left( { – 1;0} \right) =  – \left( { – 1} \right) – 0 = 1$

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức F(x;y) là 1 và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x;y) là -9.