Giải bài 3.18 trang 60 Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hai elip $({E_1}):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1$ và $({E_2}):\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1$

a) Tìm mối quan hệ giữa hai tâm sai của các elip đó

b) Chứng minh rằng với mỗi điểm M thuộc elip $({E_2})$ thì trung điểm N của đoạn thẳng OM thuộc elip $({E_1}).$

Lời giải chi tiết

a) $({E_1}):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1$ có $a = 5,b = 4 \Rightarrow c = 3$

Vậy tâm sai ${e_1} = \frac{3}{5}$

$({E_2}):\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1$ có $a = 10,b = 8 \Rightarrow c = 6$

Vậy tâm sai ${e_2} = \frac{6}{{10}} = \frac{3}{5} = {e_1}$

b) Giả sử $M({x_0};{y_0})$ thuộc $({E_2}).$

$\Rightarrow$ Trung điểm N của OM là: $N(\frac{{{x_0}}}{2};\frac{{{y_0}}}{2})$

Ta có: $\frac{{{x_0}^2}}{{100}} + \frac{{{y_0}^2}}{{64}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{\frac{{{x_0}^2}}{4}}}{{25}} + \frac{{\frac{{{y_0}^2}}{4}}}{{16}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {\frac{{{x_0}}}{2}} \right)}^2}}}{{25}} + \frac{{{{\left( {\frac{{{y_0}}}{2}} \right)}^2}}}{{16}} = 1$

$\Rightarrow$ N thuộc $({E_1}).$