Giải bài 7 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều

Đề bài

Chứng minh \({a^n} – {b^n} = (a – b)({a^{n – 1}} + {a^{n – 2}}b + … + a{b^{n – 2}} + {b^{n – 1}})\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*\)

Lời giải chi tiết

Bước 1: Khi \(n = 1\) ta có \({a^1} – {b^1} = a – b\) hiển nhiên đúng

Như vậy đẳng thức đúng với \(n = 1\)

Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà đẳng thức đúng, ta phải chứng minh đẳng thức đúng với k+1, tức là:

\({a^{k + 1}} – {b^{k + 1}} = (a – b)({a^{k + 1 – 1}} + {a^{k + 1 – 2}}b + … + a{b^{k + 1 – 2}} + {b^{k + 1 – 1}})\) hay \({a^{k + 1}} – {b^{k + 1}} = (a – b)({a^k} + {a^{k – 1}}b + … + a{b^{k – 1}} + {b^k})\)

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

\({a^k} – {b^k} = (a – b)({a^{k – 1}} + {a^{k – 2}}b + … + a{b^{k – 2}} + {b^{k – 1}})\)

Suy ra

\(\begin{array}{l}{a^{k + 1}} – {b^{k + 1}} = a.{a^k} – b.{b^k} = a\left( {{a^k} – {b^k}} \right) + a{b^k} – b.{b^k} = a\left( {{a^k} – {b^k}} \right) + \left( {a – b} \right).{b^k}\\ = a.(a – b)({a^{k – 1}} + {a^{k – 2}}b + … + a{b^{k – 2}} + {b^{k – 1}}) + \left( {a – b} \right).{b^k}\\ = (a – b)\left[ {a({a^{k – 1}} + {a^{k – 2}}b + … + a{b^{k – 2}} + {b^{k – 1}}) + {b^k}} \right]\\ = (a – b)({a^k} + {a^{k – 1}}b + … + a{b^{k – 1}} + {b^k})\end{array}\)

Vậy đẳng thức đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).