Giải bài 5 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều

Đề bài

Chứng minh với mọi \(n \in \mathbb{N}*\), ta có:

a) \({13^n} – 1\) chia hết cho 6.

b) \({4^n} + 15n – 1\) chia hết cho 9.

Lời giải chi tiết

a)

Bước 1: Khi \(n = 1\) ta có \({13^1} – 1 = 12\) chia hết cho 6.

Vậy mệnh đề đúng với \(n = 1\)

Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề đúng với k+1, tức là:

\({13^{k + 1}} – 1\) chia hết cho 6.

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

\({13^k} – 1\) chia hết cho 6.

Suy ra

\({13^{k + 1}} – 1 = {13.13^k} – 1 = 13.\left( {{{13}^k} – 1} \right) + 12\) chia hết cho 6

Vậy mệnh đề đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).

b)

Bước 1: Khi \(n = 1\) ta có \({4^1} + 15.1 – 1 = 18\) chia hết cho 9.

Vậy mệnh đề đúng với \(n = 1\)

Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề đúng với k+1, tức là:

\({4^{k + 1}} + 15.(k + 1) – 1\) chia hết cho 9.

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

\({4^k} + 15k – 1\) chia hết cho 9.

Suy ra

\({4^{k + 1}} + 15.(k + 1) – 1 = {4.4^k} + 15k + 14 = 4\left( {{4^k} + 15k – 1} \right) – 45k + 18\) chia hết cho 9

Vậy mệnh đề đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).