Giải bài 6 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều

Đề bài

Chứng minh \({n^n} > {(n + 1)^{n – 1}}\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*,n \ge 2.\)

Lời giải chi tiết

Bước 1: Khi \(n = 2\) ta có \({2^2} > {(2 + 1)^{2 – 1}}\) hay \(4 > 3\)hiển nhiên đúng

Như vậy bất đẳng thức đúng với \(n = 2\)

Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà bất đẳng thức đúng, ta phải chứng minh bất đẳng thức đúng với k+1, tức là:

\({(k + 1)^{k + 1}} > {(k + 1 + 1)^{k + 1 – 1}}\) hay \({(k + 1)^{k + 1}} > {(k + 2)^k}\)

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

\({k^k} > {(k + 1)^{k – 1}}\)

Suy ra

\({k^k}{(k + 1)^{k + 1}} > {(k + 1)^{k – 1}}{(k + 1)^{k + 1}} = {(k + 1)^{k – 1 + k + 1}} = {(k + 1)^{2k}}\)

Mà \({(k + 1)^{2k}} = {\left[ {{{(k + 1)}^2}} \right]^k} = {\left( {{k^2} + 2k + 1} \right)^k} > {\left( {{k^2} + 2k} \right)^k}\)

\( \Rightarrow {k^k}{(k + 1)^{k + 1}} > {\left( {{k^2} + 2k} \right)^k} = {\left[ {k.(k + 2)} \right]^k} = {k^k}.{(k + 2)^k}\)

\( \Rightarrow {(k + 1)^{k + 1}} > {(k + 2)^k}\)

Vậy bất đẳng thức đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).