Giải bài 9 trang 39 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều

Đề bài

Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh:

a) \({n^5} – n\) chia hết cho 5 \(\forall n \in \mathbb{N}*\)

b) \({n^7} – n\) chia hết cho 7 \(\forall n \in \mathbb{N}*\)

Lời giải chi tiết

a) \({n^5} – n\) chia hết cho 5 \(\forall n \in \mathbb{N}*\)

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = 1\)

+ \(VT = {1^5} – 1 = 0 \vdots 5\)

=> Mệnh đề đúng với \(n = 1\)

Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge 1\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.

+ Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k \ge 1\), tức là: \({k^5} – k \vdots 5\)

+ Chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1\), tức là \({\left( {k + 1} \right)^5} – \left( {k + 1} \right) \vdots 5\)

Thật vậy, xét:

 \(\begin{array}{l}{\left( {k + 1} \right)^5} – \left( {k + 1} \right) = \left( {k + 1} \right)\left[ {{{\left( {k + 1} \right)}^4} – 1} \right] = \left( {k + 1} \right)\left( {{{\left( {k + 1} \right)}^2} + 1} \right)\left( {k + 1 – 1} \right)\left( {k + 1 + 1} \right)\\ = k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {{{\left( {k + 1} \right)}^2} – 4 + 5} \right) = k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left[ {\left( {k + 1 – 2} \right)\left( {k + 1 + 2} \right) + 5} \right]\\ = \left( {k – 1} \right)k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right) + 5k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\end{array}\)

+ Ta thấy \(\left( {k – 1} \right)k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)\)là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp à \(\left( {k – 1} \right)k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)\) chia hết cho 5

+  \(5k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\) chia hết cho 5

\( \Rightarrow {\left( {k + 1} \right)^5} – \left( {k + 1} \right) \vdots 5\) Suy ra điều phải chứng minh

b) \({n^7} – n\) chia hết cho 7 \(\forall n \in \mathbb{N}*\)

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = 1\)

+ \(VT = {1^7} – 1 = 0 \vdots 7\)

=> Mệnh đề đúng với \(n = 1\)

Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge 1\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.

+ Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k \ge 1\), tức là: \({k^7} – k \vdots 7\)

+ Chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1\), tức là \({\left( {k + 1} \right)^7} – \left( {k + 1} \right) \vdots 7\)

Thật vậy, xét:

\(\begin{array}{l}{\left( {k + 1} \right)^7} – \left( {k + 1} \right) = {k^7} + C_7^1{k^6} + C_7^2{k^5} + C_7^3{k^4} + C_7^4{k^3} + C_7^5{k^2} + C_7^6k – k\\ = \left( {{k^7} – k} \right) + \left( {C_7^1{k^6} + C_7^2{k^5} + C_7^3{k^4} + C_7^4{k^3} + C_7^5{k^2} + C_7^6k} \right)\end{array}\)

+ Ta có \({k^7} – k \vdots 7\)

+  \(\left( {C_7^1{k^6} + C_7^2{k^5} + C_7^3{k^4} + C_7^4{k^3} + C_7^5{k^2} + C_7^6k} \right)\) chia hết cho 7 vì \(C_7^k\) với k chạy từ 1 đến 6 là bội của 7 nên luôn chia hết cho 7

\( \Rightarrow {\left( {k + 1} \right)^7} – \left( {k + 1} \right) \vdots 7\) Suy ra điều phải chứng minh